Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O與斜邊AC交于點D，E為BC邊的中點，連接DE、OE.

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)填空：

①當∠CAB＝ 時，四邊形AOED是平行四邊形；

②連接OD，在①的條件下探索四邊形OBED的形狀為 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①45°②正方形

【解析】【試題分析】（1）連接BD,根據直徑所對的圓周角是直角，得 ，因為E為BC邊的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得ED＝EB，根據等邊對等角，得∠EDB＝∠EBD，由于OD＝OB，得∠ODB＝∠OBD.因為∠EBD＋∠OBD＝90°，所以∠EDB＋∠ODB＝90°，根據切線的定義得：DE是⊙O的切線．

（2）①因為E為BC邊的中點，O為AB邊的中點， , 欲使四邊形AOED是平行四邊形，則 ,即D為AC邊的中點，又因為 ,則Rt△ABC為等腰直角三角形.即∠CAB＝45 ；② 則四邊形OBED是平行四邊形，因為 ,則平行四邊形OBED為矩形，因為OB=BE,得矩形OBED為正方形.

【試題解析】

（1）連接OD、BD，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°.

∵在Rt△BDC中，E為BC邊的中點，

∴ED＝EB＝BC.

∴∠EDB＝∠EBD.

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD.

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，

即∠EBD＋∠OBD＝90°，

∴∠EDB＋∠ODB＝90°，即∠ODE＝90°.

∴DE是⊙O的切線．

（2）①因為E為BC邊的中點，O為AB邊的中點， ,

欲使四邊形AOED是平行四邊形，則 ,即D為AC邊的中點，因為 ,則Rt△ABC為等腰直角三角形.即∠CAB＝45 ；

② 則四邊形OBED是平行四邊形，因為 ,則平行四邊形OBED為矩形，又因為OB=BE,得矩形OBED為正方形.