【題目】在⊙O 中,點C上的一個動點(不與點A,B重合),ACB=120°,點I是∠ABC的內(nèi)心,CI的延長線交⊙O于點D,連結(jié)AD,BD.

(1)求證:AD=BD.

(2)猜想線段ABDI的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

(3)若⊙O的半徑為2,點E,F(xiàn)的三等分點,當點C從點E運動到點F時,求點I隨之運動形成的路徑長.

【答案】(1)證明見解析;(2)AB=DI,理由見解析(3)

【解析】(1)根據(jù)內(nèi)心的定義可得CI平分∠ACB,可得出角相等,再根據(jù)圓周角定理,可證得結(jié)論;

(2)根據(jù)∠ACB=120°,∠ACD=∠BCD,可求出∠BAD的度數(shù),再根據(jù)AD=BD,可證得△ABD是等邊三角形,再根據(jù)內(nèi)心的定義及三角形的外角性質(zhì),證明∠BID=∠IBD,得出ID=BD,再根據(jù)AB=BD,即可證得結(jié)論;

(3)連接DO,延長DO根據(jù)題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓心,DI1為半徑的弧,根據(jù)已知及圓周角定理、解直角三角形,可求出AD的長,再根據(jù)點E,F(xiàn)是 弧AB 的三等分點,△ABD是等邊三角形,可證得∠DAI1=∠AI1D,然后利用弧長的公式可求出點I隨之運動形成的路徑長.

(1)證明:∵點I是∠ABC的內(nèi)心

CI平分∠ACB

∴∠ACD=BCD

∴弧AD=BD

AD=BD

(2)AB=DI

理由∵∠ACB=120°,ACD=BCD

∴∠BCD=×120°=60°

∵弧BD=BD

∴∠DAB=BCD=60°

AD=BD

∴△ABD是等邊三角形,

AB=BD,ABD=C

IABC的內(nèi)心

BI平分∠ABC

∴∠CBI=ABI

∵∠BID=C+CBI,IBD=ABI+ABD

∴∠BID=IBD

ID=BD

AB=BD

AB=DI

(3)解:如圖,連接DO,延長DO根據(jù)題意可知點I隨之運動形成的圖形式以D為圓心,DI1為半徑的弧

∵∠ACB=120°,AD=BD

∴∠AED=ACB=×120°=60°

∵圓的半徑為2,DE是直徑

DE=4,EAD=90°

AD=sinAED×DE=×4=2

∵點E,F(xiàn) AB 的三等分點,ABD是等邊三角形,

∴∠ADB=60°

∴弧AB的度數(shù)為120°,

∴弧AM、弧BF的度數(shù)都為為40°

∴∠ADM=20°=FAB

∴∠DAI1=FAB+DAB=80°

∴∠AI1D=180°-ADM-DAI1=180°-20°-80°=80°

∴∠DAI1=AI1D

AD=I1D=2

∴弧I1I2的長為:

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】己知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2

(1)求k的取值范圍;

(2)若=﹣1,求k的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在前面的學(xué)習(xí)中,我們通過對同一面積的不同表達和比較,根據(jù)圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式.這種利用面積關(guān)系解決問題的方法,使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化.

請你利用上述方法解決下列問題:

1)請寫出圖1和圖2所表示的代數(shù)恒等式

_______ _______

2)現(xiàn)有a×a,b×b的正方形紙片和a×b的矩形紙片各若干塊,試選用這些紙片(每種紙片至少用一次,每兩個紙片之間既不重疊,也無空隙,拼出的圖形中必須保留拼圖的痕跡),使拼出的矩形面積為為2a2+5ab+2b2,并標出此矩形的長和寬.

(拓展應(yīng)用)

提出問題:47×43,56×54,79×71是一些十位數(shù)字相同,且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式,是否可以找到一種速算方法?

幾何建模:用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積,以47×43為例:

1)畫長為47,寬為43的矩形,如圖③,將這個47×43的矩形從右邊切下長40,寬3的一條,拼接到原矩形上面.

2)原矩形面積可以有兩種不同的表達方式:47×43的矩形面積或(40+7+3)×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和,47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021,

用文字表述47×43的速算方法是:十位數(shù)字41的和與4相乘,再乘以100,加上個位數(shù)字37的積,構(gòu)成運算結(jié)果.

歸納提煉:

兩個十位數(shù)字相同,并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是(用文字表述)_________

證明上述速算方法的正確性;

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩個工程隊共同承擔一項筑路任務(wù),甲隊單獨施工完成此項任務(wù)比乙隊單獨施工完成此項任務(wù)多用10天,且甲隊單獨施工45天和乙隊單獨施工30天的工作量相同.

(1)甲、乙兩隊單獨完成此項任務(wù)各需多少天?

(2)若甲、乙兩隊共同工作了3天后,乙隊因設(shè)備檢修停止施工,由甲隊繼續(xù)施工,為了不影響工程進度,甲隊的工作效率提高到原來的2倍,要使甲隊總的工作量不少于乙隊的工作量的2倍,那么甲隊至少再單獨施工多少天?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義:若點P為四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足∠APB+CPD=180°, 則稱點P為四邊形ABCD的一個互補點”.

(1)如圖1,點P為四邊形ABCD的一個互補點”,APD=63°,求∠BPC的度數(shù).

(2)如圖2,點P是菱形ABCD對角線上的任意一點.求證:點P為菱形ABCD的一個互補點”.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形中,,在邊上,且,將沿對折至,延長交邊于點,連接、.則下列結(jié)論:①;;.其中正確的是( )

A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知兩點在數(shù)軸上,點表示的數(shù)為-10,點到點的距離是點到點距離的3倍,點以每秒3個單位長度的速度從點向右運動.以每秒2個單位長度的速度從點向右運動(點、同時出發(fā))

1)數(shù)軸上點對應(yīng)的數(shù)是______.

2)經(jīng)過幾秒,點、點分別到原點的距離相等.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線y1=x2-2x-3x軸相交于點A,B(AB的左側(cè)),與y軸相交于點C,直線y2=kx+b經(jīng)過點B,C.

(1)求直線BC的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當y1>y2時,請直接寫出x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某慈善組織租用甲、乙兩種貨車共輛,把蔬菜噸,水果噸,全部運到災(zāi)區(qū)已知輛甲種貨車同時可裝蔬菜噸,水果噸;一輛乙種貨車同時可裝蔬菜噸,水果噸.

(1)若將這批貨物一次性運到災(zāi)區(qū),請寫出具體的租車方案?

(2)若甲種貨車每輛需付燃油費元,乙種貨車每輛需付燃油費元,則應(yīng)選(1)種的哪種方案,才能使所付的燃油費最少?最少的燃油費是多少元?

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