Question

如圖，矩形ABCD（點(diǎn)A在第一象限）與x軸的正半軸相交于M，與y的負(fù)半軸相交于N，AB∥x軸，反比例函數(shù)的圖象y=

k

x

過(guò)A、C兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC與x軸相交于點(diǎn)E、與y軸相交于點(diǎn)F．
（1）若B（-6，3），且矩形ABCD的周長(zhǎng)為24．
①求k的值；
②求證：FN=AM；
（2）如圖2，連接MN，試判斷MN與AC是否平行？若是，請(qǐng)加以證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）①根據(jù)A與B縱坐標(biāo)相同，B與C橫坐標(biāo)相同，且A與C在反比例函數(shù)圖象上，根據(jù)B坐標(biāo)表示出A與C坐標(biāo)，由矩形ABCD周長(zhǎng)為24列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
②由k的值，得到AD=BC=4，求出A，D，C坐標(biāo)，確定出AM長(zhǎng)，由FN與AD平行，利用兩直線(xiàn)平行得到兩對(duì)同位角相等，進(jìn)而確定出三角形FCN與三角形ACD相似，由相似得比例，求出FN的長(zhǎng)，即可得證；
（2）連接MN，求出DM：AD與DN：CD，得到兩比值相等，即可得證．

解答：解：（1）①由點(diǎn)B（-6，3），設(shè)點(diǎn)A（

k

3

，3），C（-6，-

k

6

），
∵矩形ABCD周長(zhǎng)為24，
∴

k

3

+6+

k

6

+3=

24

2

=12，
整理得：2k+k=18，
解得：k=6；
②∵k=6，
∴AD=BC=4，AB=CD=8，A（2，3），D（2，-1），C（-6，-1），
∴AM=3，
∵FN∥AD，
∴∠CFN=∠CAD，∠FNC=∠ADC=90°，
∴△FCN∽△ACD，
∴

FN

AD

=

CN

CD

，
∴FN=

AD•CN

CD

=

4×6

8

=3，
∴AM=FN；
（2）MN∥AC，理由為：
連接MN，
∵

DM

AD

=

1

4

，

ND

CD

=

2

8

=

1

4

，
∴

DM

AD

=

DN

CD

，
則MN∥AD．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．