Question

【題目】若一個三角形的三個頂點均在一個圖形的不同的邊上，則稱此三角形為該圖形的內(nèi)接三角形．

（1）在圖①中畫出△ABC的一個內(nèi)接直角三角形；

（2）如圖②，已知△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝8，AD為BC邊上的高，探究以D為一個頂點作△ABC的內(nèi)接三角形，其周長是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖③，△ABC為等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝６，試探究：△ABC的內(nèi)接等腰直角三角形的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)要求畫圖即可，體現(xiàn)內(nèi)接的特點；

（2）如解圖②，分別作點D關于AB、AC的軸對稱點、，連接，交AB、AC于點E、F，

連接DE、DF，則△DEF即為周長最小的內(nèi)接三角形，然后過點A作AH⊥EF于點H，根據(jù)對稱性求解即可；

（3）分兩種情況討論：①當內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點在斜邊AB上時；②當內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點在直角邊上時．

試題解析：（1）如解圖①，△DEF為所求作的三角形（答案不唯一）；

（2）存在．

如解圖②，分別作點D關于AB、AC的軸對稱點、，連接，交AB、AC于點E、F，

連接DE、DF，則△DEF即為周長最小的內(nèi)接三角形，

的長即為最小周長．

∵AB＝８，∠Ｂ＝45°，AD⊥BC，∴AD＝AB·si45°＝．

∵點D關于AB、AC的軸對稱點分別為、，

∴AD′＝＝AD＝，∠＝2∠BAC＝120°,

過點A作AH⊥EF于點H，

在Rt△中，∠＝30°,

∴＝·cos30°＝,

∴△DEF周長的最小值為；

（3）分類討論：

①當內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點在斜邊AB上時，

如解圖③，∵∠ACB＝∠EDF＝90°，

以EF為直徑畫圓，則點Ｃ、Ｄ在圓上，

連接CD，∵DE＝DF，

∴∠ACD＝∠BCD，又∵AC＝BC，

∴CD是AB邊上的中線，點D是AB邊的中點，

過點D作DE′⊥AC，DF′⊥BC，此時，DE′、DF′最短．

當點E與E′重合，點F與F′重合時，△DEF的面積最小，

此時四邊形CEDF為矩形．

設DE＝x，則BC＝2DE＝2x＝6，

∴x＝3，∴S最小＝；

②當內(nèi)接等腰直角三角形的直角頂點在直角邊上時，如解圖④，

過點F作FG⊥BC于點G，設DG＝y，GF＝x，易證△CDE≌△GFD，

∴CD＝FG＝x，

∵∠B＝45°，FG⊥BC，

∴GB＝GF＝x，

∴BC＝CD＋DG＋GB＝2x＋y＝6，即y＝6－2x．

故當x=時，

∵,

∴△DEF的面積存在最小值，其最小值為．