Question

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜邊AB=2

3

，動(dòng)點(diǎn)P在AB邊上，動(dòng)點(diǎn)Q在AC邊上，且∠CPQ=90°，則線段CQ長的最小值=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：以CQ為直徑作⊙O，當(dāng)⊙O與AB邊相切動(dòng)點(diǎn)P時(shí)，CQ最短，根據(jù)切線的性質(zhì)求得OP⊥AB，進(jìn)而根據(jù)已知求得△POQ為等邊三角形，得出∠APQ=30°，設(shè)PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=cos30°•AB=

3

2

×2

3

=3，從而求得CQ的最小值為2．

解答：解：以CQ為直徑作⊙O，當(dāng)⊙O與AB邊相切動(dòng)點(diǎn)P時(shí)，CQ最短，
∴OP⊥AB，
∵∠B=90°，∠A=30°，
∴∠POA=60°，
∵OP=OQ，
∴△POQ為等邊三角形，
∴∠POQ=60°，
∴∠APQ=30°，
∴設(shè)PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=cos30°•AB=

3

2

×2

3

=3，
∴CQ=2，
∴CQ的最小值為2．
故答案為2．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形函數(shù)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．