Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．點(diǎn)P從B出發(fā)沿BA 向A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1cm，點(diǎn)E是點(diǎn)B以P為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)．點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從A出發(fā)沿AC向C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm ．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)頂點(diǎn)C時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P， Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC ？

（2）設(shè)四邊形PQCB的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)解析式;

（3）四邊形PQCB的面積與△APQ面積比能為3：2嗎？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△AEQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）t＝；（2）y＝t2﹣8t+24；（3）四邊形PQCB面積能是△ABC面積的，此時(shí)t的值為5﹣；理由見(jiàn)解析；（4）當(dāng)t為秒秒秒時(shí)，△AEQ為等腰三角形．

【解析】

（1）先在中，由勾股定理求出，再由，，得出，然后由，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，列出比例式，求解即可；

（2）根據(jù)，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（3）根據(jù)題意知四邊形面積是面積的，列出方程，解方程即可；

（4）為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：①；②；③，每一種情況都可以列出關(guān)于的方程，解方程即可.

（1）Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，

∴AB＝10cm．

∵BP＝t，AQ＝2t，

∴AP＝AB﹣BP＝10﹣t．

∵PQ∥BC，

∴

∴

解得t＝；

（2）∵S四邊形PQCB＝S△ACB﹣S△APQ＝ACBC﹣APAQsinA

∴y＝×6×8﹣×（10﹣t）2t

＝24﹣t（10﹣t）

＝t2﹣8t+24，

即y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y＝t2﹣8t+24；

（3）四邊形PQCB面積能是△ABC面積的，理由如下：

由題意，得t2﹣8t+24＝×24，

整理，得t2﹣10t+12＝0，

解得t1＝5﹣，t2＝5+（不合題意舍去）．

故四邊形PQCB面積能是△ABC面積的，此時(shí)t的值為5﹣；

（4）△AEQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：

①如果AE＝AQ，那么10﹣2t＝2t，解得t＝；

②如果EA＝EQ，那么（10﹣2t）×＝t，解得t＝；

③如果QA＝QE，那么2t×＝5﹣t，解得t＝．

故t為秒秒秒時(shí)，△AEQ為等腰三角形．