Question

如圖，已知：四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠BDC的度數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：延長BA和BC，過D點(diǎn)作DE⊥BA于E點(diǎn)，過D點(diǎn)作DF⊥BC于F點(diǎn)，根據(jù)BD是∠ABC的平分線可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，過D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn)，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，進(jìn)而得出CD為∠ACF的平分線，得出∠DCA=54°，再根據(jù)∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA即可得出結(jié)論．

解答：解：延長BA和BC，過D點(diǎn)作DE⊥BA于E點(diǎn)，過D點(diǎn)作DF⊥BC于F點(diǎn)，
∵BD是∠ABC的平分線
在△BDE與△BDF中，

∠ABD=∠CBD BD=BD ∠AED=∠DFC

，
∴△BDE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠BAD+∠CAD=180°
∠BAD+∠EAD=180°
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD為∠EAC的平分線，
過D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn)，
在Rt△ADE與Rt△ADG中，

AD=AD DE=DG

，
∴△ADE≌△ADG（HL），
∴DE=DG，
∴DG=DF．
在Rt△CDG與Rt△CDF中，

CD=CD DG=DF

，
∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL）
∴CD為∠ACF的平分線
∠ACB=72°
∴∠DCA=54°，
△ABC中，
∵∠ACB=72°，∠ABC=50°，
∴∠BAC=180°-72°-50°=58°，
∴∠DAC=

180°-58°

2

=61°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA=180°-61°-54°=65°，
∴∠BDC=180°-25°-54°-72°=29°．
故答案為：29°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分想的性質(zhì)，以及三角形的全等和三角形的內(nèi)角和定理，注意知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．