Question

在△ABC中，AC=3，BC=4，半徑為r的⊙C與AB相切，則r的最大值為

 

；當(dāng)r=

12

5

時(shí)，∠C=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：若半徑為r的⊙C與AB相切，則C到AB的距離等于圓的半徑，所以可能是CA⊥AB或BC⊥AB，又因?yàn)锽C＞AC，所以則r的最大值為4；當(dāng)r=

12

5

時(shí)，利用勾股定理可求出AD的長和BD的長，進(jìn)而證明△ADC∽△BDC，所以∠ACD=∠B，因?yàn)椤螧+∠DCB=90°，所以∠ACD+∠DCB=90°，即∠C=90°

解答：解：若半徑為r的⊙C與AB相切，則C到AB的距離等于圓的半徑，所以可能是CA⊥AB或BC⊥AB，又因?yàn)锽C＞AC，所以則r的最大值為3，
故答案為：3；
∵半徑為r的⊙C與AB相切，
∴CD⊥AB，
∵r=

12

5

，AC=3，
∴AD=

32-( 12 5 )2

 =

9

5

，
同理可求BC=

16

5

，
∴

AD

CD

=

CD

BD

，
∴△ADC∽△BDC，
∴∠ACD=∠B，
∵∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
即∠C=90°，
故答案為：90°

點(diǎn)評：本題考查了圓的切線性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及相似三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．