Question

已知△ABC中，∠BAC≠90°，AD⊥BC，BE⊥AC，且AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠ACH+∠BAE=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：

分析：根據(jù)題意可知，點(diǎn)A、B、D、E共圓，點(diǎn)H是△ABC的垂心．過點(diǎn)A作⊙O的切線AF交BC的延長(zhǎng)線BC于點(diǎn)F．根據(jù)切線的性質(zhì)可知△ABF是直角三角形、由平行線的判定與性質(zhì)可知∠HCA=∠CAF；最后由圖形可知∠BAF=∠FAC+∠CAB=90°，即∠BAC+∠HCA=90°．

解答：解：∵△ABC中，∠BAC≠90°，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴點(diǎn)A、B、D、E在以AB為直徑的⊙O上；
過點(diǎn)A作⊙O的切線AF交BC的延長(zhǎng)線BC于點(diǎn)F，則AF⊥AB．
∵點(diǎn)H是三角形ABC的垂心，
∴CH⊥AB，
∴CH∥AF，
∴∠HCA=∠CAF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；
又∵∠BAF=∠FAC+∠CAB=90°，
∴∠BAC+∠HCA=90°．
故答案是：90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的知識(shí)點(diǎn)．解答此題時(shí)，注意挖掘出隱含在題干中的已知條件點(diǎn)A、D、E、A共圓，點(diǎn)H是△ABC的垂心．