【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2+bx+e與x軸交于點A(﹣3,0)、點B(9,0),與y軸交于點C,頂點為D,連接AD、DB,點P為線段AD上一動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,過點P作BD的平行線,交AB于點Q,連接DQ,設(shè)AQ=m,△PDQ的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式,以及S的最大值;
(3)如圖2,拋物線對稱軸與x軸交與點G,E為OG的中點,F(xiàn)為點C關(guān)于DG對稱的對稱點,過點P分別作直線EF、DG的垂線,垂足為M、N,連接MN,直接寫出△PMN為等腰三角形時點P的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵a=﹣ ,拋物線與x軸交與點A(﹣3,0),點B(9,0),
∴可以假設(shè)拋物線解析式為y=﹣ (x+3)(x﹣9)=﹣ x2+ x+6,
∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+6,
(2)
解:∵y=﹣ x2+ x+6=﹣ (x﹣3)2+8,
∴頂點D坐標(biāo)(3,8),
∵AD=DB=10,
∴∠DAB=∠DBA,
∵PQ∥BD,
∴∠PQA=∠DBA,
∴∠PAQ=∠PQA,
∴PA=PQ,
∴△PAQ為等腰三角形,
作PH⊥AQ于H,則AH=HQ= (如圖1中),
∴tan∠DAB= = ,
∴PH= m,
∴S=S△ADQ﹣S△APQ= m8﹣ m m=﹣ m2+4m=﹣ (m﹣6)2+12,
∴當(dāng)m=6時,S最大值=12.
(3)
解:∵E( ,0),F(xiàn)(6,6),
∴直線EF解析式為y= x﹣2,直線AD解析式為y= x+4,
∴EF∥AD,作EL⊥AD于L,(如圖2中)
∵AE= ,sin∠DAB= ,
∴LE= × = =PM,
①PM=PN= 時,
∴xP=3﹣ =﹣ ,yP=﹣ × +4= ,
∴P(﹣ , ),
∴直線PM解析式為y=﹣ x+ ,
由 ,解得 ,
∴點M( , )
∴EM= = .
②NP=NM時,設(shè)直線EF與對稱軸交于點K,K(3,2),
此時點N在PM的垂直平分線上,DN=NK,
∴N(3,5),P( ,5),
∴直線PM的解析式為y=﹣ x+ ,
由 ,解得 ,
∴M( , ),
∴EM= = ,
③PM=MN時,cos∠MPN= = ,
∴PN= ,由此可得P(﹣ , ),
∴直線PM解析式為y=﹣ x﹣ ,
由 解得 ,
∴M( ,﹣ ),
∴EM= = .
綜上所述,EM= 或 或 .
【解析】(1)可以假設(shè)拋物線解析式為y=﹣ (x+3)(x﹣9),展開化簡即可.(2)作PH⊥AQ于H,則AH=HQ= (如圖1中),根據(jù)S=S△ADQ﹣S△APQ構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.(3)分三種情形討論①PM=PN,②NP=NM,③MN=MP,分別求出直線PM的解析式,利用方程組求出點M坐標(biāo)即可解決問題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,若干個半徑為2個單位長度,圓心角為60°的扇形組成一條連續(xù)的曲線,點P從原點O出發(fā),沿這條曲線向右上下起伏運動,點在直線上的速度為2個單位長度/秒,點在弧線上的速度為 個單位長度/秒,則2017秒時,點P的坐標(biāo)是( )
A.(2017,0)
B.(2017, )
C.(2017,﹣ )
D.(2016,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綠色無公害蔬菜基地有甲、乙兩種植戶,他們種植了A,B兩類蔬菜,兩種植戶種植的兩類蔬菜的種植面積與總收入如下表:
種植戶 | 種植A類蔬菜面積 | 種植B類蔬菜面積 | 總收入 |
甲 | 3 | 1 | 12500 |
乙 | 2 | 3 | 16500 |
說明:不同種植戶種植的同類蔬菜每畝的平均收入相等;畝為土地面積單位.
(1)求A、B兩類蔬菜每畝的平均收入各是多少元;
(2)某種植戶準(zhǔn)備租20畝地用來種植A、B兩類蔬菜,為了使總收入不低于63000元,且種植A類蔬菜的面積多于種植B類蔬菜的面積(兩類蔬菜的種植面積均為整數(shù)),求該種植戶所有租地方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)要把192噸物資從我市運往甲、乙兩地,用大、小兩種貨車共18輛恰好能一次性運完這批物資.已知這兩種貨車的載重量分別為14噸/輛和8噸/輛,運往甲、乙兩地的運費如表:
運往地 | 甲地(元/輛) | 乙地(元/輛) |
大貨車 | 720 | 800 |
小貨車 | 500 | 650 |
(1)求這兩種貨車各用多少輛?
(2)如果安排10輛貨車前往甲地,其余貨車前往乙地,其中前往甲地的大貨車為a輛,前往甲、乙兩地的總運費為w元,求出w與a的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,若運往甲地的物資部少于96噸,請你設(shè)計出使總運費最低的貨車調(diào)配方案,并求出最少總運費.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明和小華在一起玩數(shù)字游戲,他們每人取了一張數(shù)字卡片,拼成了一個兩位數(shù). 小明說:“哇!這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和恰好是9.”他們又把這兩張卡片對調(diào),得到了一個新的兩位數(shù),小華說:“這個兩位數(shù)恰好比原來的兩位數(shù)大9.”那么,你能回答以下問題嗎?
他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ系臄?shù)字分別是多少?
第一次,他們拼成的兩位數(shù)是多少?
第二次,他們拼成的兩位數(shù)又是多少呢?請你好好動動腦筋喲!
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,將矩形紙片折疊,使點C與點A重合,請在圖中畫出折痕,并求折痕的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(A點在B點左側(cè)),與y軸交于點C(0,﹣3),對稱軸是直線x=1,直線BC與拋物線的對稱軸交于點D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式;
(3)點E為y軸上一動點,CE的垂直平分線交CE于點F,交拋物線于P、Q兩點,且點P在第三象限.
①當(dāng)線段PQ= AB時,求tan∠CED的值;
②當(dāng)以點C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時,請直接寫出點P的坐標(biāo).
溫馨提示:考生可以根據(jù)第(3)問的題意,在圖中補(bǔ)出圖形,以便作答.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過原點的直線y=k1x和y=k2x與反比例函數(shù)y= 的圖象分別交于兩點A,C和B,D,連接AB,BC,CD,DA.
(1)四邊形ABCD一定是四邊形;(直接填寫結(jié)果)
(2)四邊形ABCD可能是矩形嗎?若可能,試求此時k1 , k2之間的關(guān)系式;若不能,說明理由;
(3)設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2)(x2>x1>0)是函數(shù)y= 圖象上的任意兩點,a= ,b= ,試判斷a,b的大小關(guān)系,并說明理由.
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