Question

【題目】如圖，點(diǎn)P為x軸正半軸上的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)A，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作x軸的平行線，交于點(diǎn)C，邊接AC．

（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，求△ABC的面積；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使A、O、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形△QAO為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（3）請(qǐng)你連接OA和OC．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）時(shí)，△OAC的面積是否隨t的值的變化而變化？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）則Q的坐標(biāo)為（0，﹣），（0，），（0，2）或（0，1）；

（3）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出C點(diǎn)坐標(biāo)，得到AB=3，BC=，再利用三角形面積公式求解即可；

（2）如圖①，先求得OA=，再分OA=OQ，AQ=AO，QO=QA三種情況，分別求出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）如圖②過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，CD⊥y軸于點(diǎn)D，因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，），點(diǎn)B（t，），點(diǎn)C（，），由圖②可知S△OAC=S矩形CDOE+S梯形APEC﹣S△OCD﹣S△OAP，進(jìn)而可得到關(guān)于t的方程，然后解方程即可.

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為1，

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=上，

∴點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（1，4），

∵BC∥x軸，

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，

又∵點(diǎn)C在y=上，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，4），

∴AB=3，BC=，

∴S△ABC=×BC×AB=；

（2）如圖①所示：OA==，

①若OA=OQ，點(diǎn)Q位于Q1或Q2位置，此時(shí)Q1（0，﹣），Q2（0，）；

②若AQ=AO，點(diǎn)Q位于Q3位置，此時(shí)Q3（0，2）；

③若QO=QA，點(diǎn)Q位于Q4位置，此時(shí)Q4（0，1）；

則Q的坐標(biāo)為（0，﹣），（0，），（0，2）或（0，1）；

（3）過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，CD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖②所示：

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，），點(diǎn)B（t，），點(diǎn)C（，），

∴S△OAC=S矩形CDOE+S梯形APEC﹣S△OCD﹣S△OAP=1+（+）×（t﹣）﹣﹣=；

故△OAC的面積不隨t的值的變化而變化．