【題目】如圖,點(diǎn)P⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線上,PC⊙O的切線,點(diǎn)C為切點(diǎn),連接AC,過點(diǎn)APC的垂線,點(diǎn)D為垂足,AD⊙O于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證:∠DAC=∠PAC;

(2)如圖2,點(diǎn)F(與點(diǎn)C位于直徑AB兩側(cè))在⊙O上,,連接EF,過點(diǎn)FAD的平行線交PC于點(diǎn)G,求證:FG=DE+DG;

(3)(2)的條件下,如圖3,若AE=DG,PO=5,求EF的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)EF=3

【解析】

(1)連接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根據(jù)切線的判定推出即可;
(2)連接BE交GF于H,連接OH,求出四邊形HGDE是矩形,求出DE=HG,F(xiàn)H=EH,即可得出答案;
(3)設(shè)OC交HE于M,連接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EH∥DG,求出OM=AE,設(shè)OM=a,則HM=a,AE=2a,AE=DG,DG=3a,
求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO=,tanP=,設(shè)OC=k,則PC=2k,根據(jù)OP=k=5求出k=,根據(jù)勾股定理求出a,即可求出答案.

(1)證明:連接OC,

PC為⊙O的切線,

OCPC,

ADPC,

OCAD,

∴∠OCA=DAC,

OC=OA,

∴∠PAC=OCA,

∴∠DAC=PAC;

(2)證明:連接BEGFH,連接OH,

FGAD,

∴∠FGD+∠D=180°,

∵∠D=90°,

∴∠FGD=90°,

AB為⊙O的直徑,

∴∠BEA=90°,

∴∠BED=90°,

∴∠D=HGD=BED=90°,

∴四邊形HGDE是矩形,

DE=GH,DG=HE,GHE=90°,

,

∴∠HEF=FEA=BEA==45°,

∴∠HFE=90°﹣HEF=45°,

∴∠HEF=HFE,

FH=EH,

FG=FH+GH=DE+DG;

(3)解:設(shè)OCHEM,連接OE、OF,

EH=HF,OE=OF,HO=HO,

∴△FHO≌△EHO,

∴∠FHO=EHO=45°,

∵四邊形GHED是矩形,

EHDG,

∴∠OMH=OCP=90°,

∴∠HOM=90°﹣OHM=90°﹣45°=45°,

∴∠HOM=OHM,

HM=MO,

OMBE,

BM=ME,

OM=AE,

設(shè)OM=a,則HM=a,AE=2a,AE=DG,DG=3a,

∵∠HGC=GCM=GHE=90°,

∴四邊形GHMC是矩形,

GC=HM=a,DC=DG﹣GC=2a,

DG=HE,GC=HM,

ME=CD=2a,BM=2a,

RtBOM中,tanMBO=,

EHDP,

∴∠P=MBO,

tanP=,

設(shè)OC=k,則PC=2k,

RtPOC中,OP=k=5,

解得:k=,OE=OC=,

RtOME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,

a=1,

HE=3a=3,

RtHFE中,∠HEF=45°,

EF=HE=3

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(2)當(dāng)m=2x1﹣x2+3時(shí),將此拋物線沿對(duì)稱軸向上平移n個(gè)單位,使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在ABC的內(nèi)部(不包括ABC的邊),求n的取值范圍(直接寫出答案即可).

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②若△ABC的周長(zhǎng)是25,BC=9,試求出△AEF的周長(zhǎng).

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A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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