【題目】如圖,矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=4,OC=3,若拋物線的頂點在BC邊上,且拋物線經(jīng)過O,A兩點,直線AC交拋物線于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求點D的坐標(biāo);
(3)若點M在拋物線上,點N在x軸上,是否存在以A,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y =-x2+3x;(2) 點D坐標(biāo)為(1,);(3) 滿足條件的點N有四個:N1(2,0),N2(6,0),N3(--1,0),N4(-1,0).
【解析】
試題分析:(1)由OA的長度確定出A的坐標(biāo),再利用對稱性得到頂點坐標(biāo),設(shè)出拋物線的頂點形式y(tǒng)=a(x-2)2+3,將A的坐標(biāo)代入求出a的值,即可確定出拋物線解析式;
(2)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值,確定出直線AC解析式,與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標(biāo);
(3)存在,分兩種情況考慮:如圖所示,當(dāng)四邊形ADMN為平行四邊形時,DM∥AN,DM=AN,由對稱性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,根據(jù)OA+AN求出ON的長,即可確定出N的坐標(biāo);當(dāng)四邊形ADM′N′為平行四邊形,可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P,M′P=DQ=,N′P=AQ=3,將y=-代入得:-=-x2+3x,求出x的值,確定出OP的長,由OP+PN′求出ON′的長即可確定出N′坐標(biāo).
試題解析:(1)設(shè)拋物線頂點為E,根據(jù)題意OA=4,OC=3,得:E(2,3),
設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2+3,
將A(4,0)坐標(biāo)代入得:0=4a+3,即a=-,
則拋物線解析式為y=-(x-2)2+3=-x2+3x;
(2)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b(k≠0),
將A(4,0)與C(0,3)代入得:,
解得:,
故直線AC解析式為y=-x+3,
與拋物線解析式聯(lián)立得:,
解得:或,
則點D坐標(biāo)為(1,);
(3)存在,分兩種情況考慮:
①當(dāng)點M在x軸上方時,如答圖1所示:
四邊形ADMN為平行四邊形,DM∥AN,DM=AN,
由對稱性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,
∴N1(2,0),N2(6,0);
②當(dāng)點M在x軸下方時,如答圖2所示:
過點D作DQ⊥x軸于點Q,過點M作MP⊥x軸于點P,可得△ADQ≌△NMP,
∴MP=DQ=,NP=AQ=3,
將yM=-代入拋物線解析式得:-=-x2+3x,
解得:xM=2-或xM=2+,
∴xN=xM-3=--1或-1,
∴N3(--1,0),N4(-1,0).
綜上所述,滿足條件的點N有四個:N1(2,0),N2(6,0),N3(--1,0),N4(-1,0).
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【題目】一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限,則這個一次函數(shù)的關(guān)系式可以是_____.(寫出一個即可)
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【題目】為了保護(hù)環(huán)境,某開發(fā)區(qū)綜合治理指揮部決定購買A,B兩種型號的污水處理設(shè)備共10臺.已知用90萬元購買A型號的污水處理設(shè)備的臺數(shù)與用75萬元購買B型號的污水處理設(shè)備的臺數(shù)相同,每臺設(shè)備價格及月處理污水量如下表所示:
污水處理設(shè)備 | A型 | B型 |
價格(萬元/臺) | m | m-3 |
月處理污水量(噸/臺) | 220 | 180 |
(1)求m的值;
(2)由于受資金限制,指揮部用于購買污水處理設(shè)備的資金不超過165萬元,問有多少種購買方案?并求出每月最多處理污水量的噸數(shù).
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【題目】將6-(+3)-(-7)+(-2)寫成省略加號的和的形式為( )
A.-6-3+7-2 B.6-3-7-2 C.6-3+7-2 D.6+3-7-2
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【題目】用一副三角板(兩塊)畫角,不可能畫出的角的度數(shù)是( 。
A. 15° B. 55° C. 75° D. 135°
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【題目】如圖,已知直線y=﹣x+2與拋物線y=a(x+2)2相交于A、B兩點,點A在y軸上,M為拋物線的頂點.
(1)請直接寫出點A的坐標(biāo)及該拋物線的解析式;
(2)若P為線段AB上一個動點(A、B兩端點除外),連接PM,設(shè)線段PM的長為,點P的橫坐標(biāo)為x,請求出與x之間的函數(shù)關(guān)系,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,線段AB上是否存在點P,使以A、M、P為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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