Question

【題目】如圖，等邊三角形中，點在邊上，.點為邊上一動點(不與點重合)，連接關于的軸對稱圖形為．

（1）當點在上時，求證：；

（2）當三點共線時，求的長；

（3）連接設的面積為的面積為記是否存在最大值？若存在，請直接寫出的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在．最大值為．

【解析】

（1）根據軸對稱圖形性質，可得對稱圖形對應角等以及邊等，結合等邊三角形60°判斷其同位角相等，進而推出兩直線平行．

（2）根據軸對稱圖形性質，可得其對應邊等以及對應角等，通過做垂直輔助線并結合等邊三角形求解邊長，根據“不同底但等高”面積原則求解邊長比例，進而列方程求解．

（3）因為S1的面積確定，S面積的不確定性由S2決定，按照三角形面積公式將面積最值問題轉化為線段最值問題，當S2的高最小時，其面積最小，S面積最大．

如圖，由軸對稱性可知，

，

當點在上時，，

．

由題意可知，

，

如圖，過點作，垂足分別是點．

則，

設

則，

，

．

即，

，

，

．

構建以為半徑的圓弧，如下圖所示，當時，到的距離最小，取得最大值．

，

，

∴ ，

所以存在最大值，最大值為．