【題目】如圖①,在平面直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點兩點,且與y軸交于點C

1)求拋物線的表達式;

2)如圖①,在拋物線的對稱軸上尋找一點M,使得ACM的周長最小,求點M的坐標.

3)如圖②,用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸,并沿x軸左右平移,直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P,Q兩點(點P在點Q的左側(cè)),連接PQ,在線段PQ上方拋物線上有一動點D,連接DP,DQ.若點P的橫坐標為,求DPQ面積的最大值,并求此時點D的坐標;

【答案】1;(2)(1,2);(3的面積最大值為8,此時點的坐標為

【解析】

1)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可;

2)本題是典型的“將軍飲馬”問題,由拋物線的對稱性知:點A關(guān)于對稱軸的對稱點為點B,故只需連接BC交直線x=1于點M,則M就是使得ACM周長最小的點,然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,而拋物線的對稱軸易求,則點M的坐標可得;

3)根據(jù)題意易求出點P、Q兩點坐標,然后利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的解析式,過點DEy軸交直線于點,如圖④,設(shè)點D的橫坐標為x,則DE的長可用含x的代數(shù)式表示,再根據(jù)可得關(guān)于x的關(guān)系式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.

解:(1)將、代入,得:

,

解得:

拋物線的表達式為;

2)∵拋物線的解析式是,

x=0時,y=3

∴點C的坐標為(0,3),拋物線的對稱軸為直線x=1,

根據(jù)拋物線的對稱性知:點A關(guān)于對稱軸的對稱點為點B,連接BC交直線x=1于點M,則M就是使得ACM周長最小的點,如圖③,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,

∵點B30)在直線BC上,

0=3k+3

解得:k=1,

即直線BC的解析式為y=x+3,

x=1時,y=1+3=2

BC與對稱軸的交點M的坐標為(1,2),

∴△ACM周長最小時,點M的坐標為(12);

3)當點的橫坐標為時,點的橫坐標為,

此時點的坐標為,點的坐標為,

設(shè)直線的表達式為,

,,代入,得:,

解得:

直線的表達式為

如圖④,過點DEy軸交直線于點,

設(shè)點的坐標為,則點的坐標為,

,

時,的面積取最大值,最大值為8,此時點的坐標為

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(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍;

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(3)若該校約有1500名學生,估計全校學生中喜歡娛樂節(jié)目的有多少人?

(4)該校廣播站需要廣播員,現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學中選取2,求恰好選中甲、乙兩位同學的概率(用樹狀圖或列表法解答)

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