Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=16，BC=12，點(diǎn)D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位長度．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，CD=

 

，AD=

 

；（請直接寫出答案）
（2）當(dāng)t=

 

時(shí)，△CBD是直角三角形；（請直接寫出答案）
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是等腰三角形？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理的逆定理,等腰三角形的判定

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)CD=速度×?xí)r間列式計(jì)算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)AD=AC-CD代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°時(shí)，利用△ABC的面積列式計(jì)算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算；②∠CBD=90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算即可得解；
（3）分①CD=BD時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=BE，從而得到CD=AD；②CD=BC時(shí)，CD=12；③BD=BC時(shí)，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CF，再由（2）的結(jié)論解答．

解答：解：（1）t=2時(shí)，CD=2×2=4，
∵∠ABC=90°，AB=16，BC=12，
∴AC=

AB2+BC2

=

162+122

=20，
∴AD=AC-CD=20-4=16；

（2）①∠CDB=90°時(shí)，S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

AB•BC，
即

1

2

×20•BD=

1

2

×16×12，
解得BD=9.6，
所以CD=

BC2-BD2

=

122-9．62

=7.2，
t=7.2÷2=3.6秒；
②∠CBD=90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，
t=20÷2=10秒，
綜上所述，t=3.6或10秒；
故答案為：（1）4，16；（2）3.6或10秒；

（3）①CD=BD時(shí)，如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，
則CE=BE，
∴CD=AD=

1

2

AC=

1

2

×20=10，
t=10÷2=5；
②CD=BC時(shí)，CD=12，t=12÷2=6；
③BD=BC時(shí)，如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F，
則CF=7.2，
CD=2CF=7.2×2=14.4，
∴t=14.4÷2=7.2，
綜上所述，t=5秒或6秒或7.2秒時(shí)，△CBD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，（2）（3）難點(diǎn)在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．