Question

在正方形ABCD中，E為CD上一點，連接AE，過點C作CF⊥AE的延長線于點F，連接DF，過點D作DG⊥DF交AE于點G．
（1）求證：△AGD≌△CFD；
（2）若E為CD的中點，求證：CF+EF=GE．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）先根據(jù)正方形的性質得出AD=CD，∠ADC=90°，故可得出∠DAE+∠AED=90°，由CF⊥AE可知∠ECF+∠CEF=90°，故可得出∠DAE=∠ECF，同理可得出∠ADG=∠CDF，由ASA定理即可得出結論；
（2）由（1）中△AGD≌△CFD可知DG=DF，再由DG⊥DF可知△DGF是等腰直角三角形，過點D作DK⊥AE于點K，則DK=GK，根據(jù)AAS定理可得出△DKE≌△CFE，故EK=EF，DK=CF，所以GK=CF，由此即可得出結論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵CF⊥AE，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DAE=∠ECF，
同理，∵∠ADG+∠GDE=90°，∠GDE+∠CDF=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
在△AGD與△CFD中，
∵

∠DAE=∠ECF AD=CD ∠ADG=∠CDF

，
∴△AGD≌△CFD；

（2）∵由（1）知△AGD≌△CFD，
∴DG=DF，
∵DG⊥DF，
∴△DGF是等腰直角三角形，
過點D作DK⊥AE于點K，則DK=GK，
在△DKE與△CFE中，
∵

∠DEK=∠CEF ∠DKE=∠CFE=90° DE=CE

，
∴△DKE≌△CFE，
∴EK=EF，DK=CF，
∴GK=CF，
∴CF+EF=EK+GK=GE．

點評：本題考查的是正方形的性質，熟知正方形的性質及全等三角形的判定與性質是解答此題的關鍵．