Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（n+1）an+（n+1）!． （Ⅰ）求證：數(shù)列 是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式；
（Ⅱ）求{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意， ， 所以 是以 為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以 ，
即an=nn!．
（Ⅱ）因為an=nn!=（n+1）!﹣n!，
所以Sn=（2!﹣1!）+（3!﹣2!）+…+[（n+1）!﹣n!]，
所以Sn=（n+1）!﹣1．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的定義進行證明即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）求得的{an}的通項公式和裂項相消求和解答．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數(shù)列的通項公式(如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．