Question

如圖，已知∠MON=90°，A是∠MON內(nèi)部的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥ON，垂足為點(diǎn)B，AB=3厘米，OB=4厘米，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以2厘米/秒的速度沿OM方向運(yùn)動(dòng)，EF與OA交于點(diǎn)C，連接AE，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，△EOF與△ABO是否相似？請(qǐng)說明理由；

（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，不論t取何值時(shí)，總有EF⊥OA．為什么？

（3）連接AF，在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得S_△AEF=S_{四邊形ABOF}？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）△EOF∽△ABO．理由見解析

（2）理由見解析

（3）存在，當(dāng)t=或t=時(shí)，S_△AEF=S_{四邊形ABOF}．

【解析】（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米，

∴，，∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF∽△ABO．

（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，OE=1.5t，OF=2t．

∵AB=3，OB=4．∴．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt△EOF∽R(shí)t△ABO．

∴∠AOB=∠EOF．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EOF+∠FOC=90°，∴EF⊥OA．

（3）如圖，連接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，∴BE=4﹣1.5t，∴S_△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t²，S_△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，S_梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6，∵S_△AEF=S_{四邊形ABOF}   ，∴S_△FOE+S_△ABE=S_梯形ABOF ，∴t²+6﹣t=（4t+6），即6t²﹣17t+12=0，解得t=或t=．

∴當(dāng)t=或t=時(shí)，S_△AEF=S_{四邊形ABOF}．