Question

如圖，已△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘，點D為AB的中點．
（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點向A點運動．
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，1秒鐘時，△BPD與△CQP是否全，請說明；
②點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD≌△CPQ？
（2）若點Q以②的運動速度從點C出發(fā)點P以原來運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿ABC的三邊運動，求多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

考點：全等三角形的判定

專題：動點型

分析：（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根據(jù)等邊對等角求得∠B=∠C，最后根據(jù)SAS即可證明；
②因為V_P≠V_Q，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根據(jù)全等得出CQ=BD=6，然后根據(jù)運動速度求得運動時間，根據(jù)時間和CQ的長即可求得Q的運動速度；
（2）因為V_Q＞V_P，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AB+AC的路程，據(jù)此列出方程，解這個方程即可求得．

解答：解：（1）①∵t=1（秒），
∴BP=CQ=3（厘米）
∵AB=12，D為AB中點，
∴BD=6（厘米）
又∵PC=BC-BP=9-3=6（厘米）
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD與△CQP中，

BP=CQ ∠B=∠C BD=PC

，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵V_P≠V_Q，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6．
∴點P的運動時間t=

BP

3

=

4.5

3

=1.5（秒），
此時V_Q=

CQ

t

=

6

1.5

=4（厘米/秒）．
（2）因為V_Q＞V_P，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AB+AC的路程
設(shè)經(jīng)過x秒后P與Q第一次相遇，依題意得4x=3x+2×12，
解得x=24（秒）
此時P運動了24×3=72（厘米）
又∵△ABC的周長為33厘米，72=33×2+6，
∴點P、Q在BC邊上相遇，即經(jīng)過了24秒，點P與點Q第一次在BC邊上相遇．

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的運用，解題的根據(jù)是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．