Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，連結(jié)OC，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點E．
（1）求證：直線CD是⊙O的切線；
（2）若DE=2BC，AD=5，求OC的值．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首選連接OD，易證得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的對應(yīng)角相等，求得∠CDO=90°，即可證得直線CD是⊙O的切線；
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易證得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AD：OC的值，從而根據(jù)AD的長求得OC的長．

解答：（1）證明：連結(jié)DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，

CO=CO ∠COD=∠COB OD=OB

，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵點D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．
∵DE=2BC，
∴ED=2CD．
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．
∴

AD

OC

=

DE

CE

=

2

3

，
∵AD=5，
∴OC=

15

2

．

點評：此題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．