【題目】問題提出:
某校要舉辦足球賽,若有5支球隊進行單循環(huán)比賽(即全部比賽過程中任何一隊都要分別與其他各隊比賽一場且只比賽一場),則該校一共要安排多少場比賽?
構(gòu)建模型:
生活中的許多實際問題,往往需要構(gòu)建相應的數(shù)學模型,利用模型的思想來解決問題.
為解決上述問題,我們構(gòu)建如下數(shù)學模型:
(1)如圖①,我們可以在平面內(nèi)畫出5個點(任意3個點都不在同一條直線上),其中每個點各代表一支足球隊,兩支球隊之間比賽一場就用一條線段把他們連接起來.由于每支球隊都要與其他各隊比賽一場,即每個點與另外4個點都可連成一條線段,這樣一共連成5×4條線段,而每兩個點之間的線段都重復計算了一次,實際只有 條線段,所以該校一共要安排 場比賽.
(2)若學校有6支足球隊進行單循環(huán)比賽,借助圖②,我們可知該校一共要安排__________場比賽;
…………
(3)根據(jù)以上規(guī)律,若學校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽,則該校一共要安排___________場比賽.
實際應用:
(4)9月1日開學時,老師為了讓全班新同學互相認識,請班上42位新同學每兩個人都相互握一次手,全班同學總共握手________________次.
拓展提高:
(5)往返于青島和濟南的同一輛高速列車,中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個車站(每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱),那么在這段線路上往返行車,要準備車票的種數(shù)為__________種.
【答案】(1)10,10;(2)15;(3);(4)861;(5)30
【解析】
(1)根據(jù)圖①線段數(shù)量進行作答.
(2)根據(jù)圖②線段數(shù)量進行作答.
(3)根據(jù)每個點存在n-1條與其他點的連線,而每兩個點之間的線段都重復計算了一次,提出假設,當 時均成立,假設成立.
(4)根據(jù)題意,代入求解即可.
(5)根據(jù)題意,代入求解即可.
(1)由圖①可知,圖中共有10條線段,所以該校一共要安排10場比賽.
(2)由圖②可知,圖中共有15條線段,所以該校一共要安排15場比賽.
(3)根據(jù)圖①和圖②可知,若學校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽,則每個點存在n-1條與其他點的連線,而每兩個點之間的線段都重復計算了一次
∴若學校有n支足球隊進行單循環(huán)比賽,則該校一共要安排場比賽.
當 時均成立,所以假設成立.
(4)將n=42代入關系式中
∴全班同學總共握手861次.
(5)因為行車往返存在方向性,所以不需要除去每兩個點之間的線段都重復計算了一次的情況
將n=6代入 中
解得
∴要準備車票的種數(shù)為30種.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小高從家門口騎車去離家4千米的單位上班,先花3分鐘走平路1千米,再走上坡路以0.2千米/分鐘的速度走了5分鐘,最后走下坡路花了4分鐘到達工作單位,若設他從家開始去單位的時間為t(分鐘),離家的路程為y(千米),則y與t(8<t≤12)的函數(shù)關系為( )
A. y=0.5t(8<t≤12) B. y=0.5t+2(8<t≤12)
C. y=0.5t+8(8<t≤12) D. y="0." 5t-2(8<t≤12)
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【題目】有一段6000米的道路由甲、乙兩個工程隊負責完成,已知甲工程隊每天完成的工作量是乙工程隊每天完成工作量的2倍,且甲工程隊單獨完成此項工程比乙工程隊單獨完成此項工程少用10天.
(1)求甲、乙兩工程隊每天各完成多少米?
(2)如果甲工程隊每天需工程費700元,乙工程隊每天需工程費500元,甲工程隊單獨施工4天后由甲乙兩個工程隊共同完成余下的工程,則完成此項工程共需要多少費用?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方形ABCD中,把△BCD沿對角線BD折疊得到△BED,線段BE與AD相交于點P,若AB=2,BC=4.
(1)求BD長度;(2)求點P到BD的距離.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC=2,∠A=∠B=30°,點D在線段AB上運動(點D不與A、B重合),連接CD,作∠CDE=30°,DE交BC于點E.
(1)AB=;
(2)當AD等于多少時,△ADC≌△BED,請說明理由;
(3)在點D的運動過程中,△CDE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,求出AD的長;若不可以,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校為了開展“陽光體育運動”,計劃購買籃球與足球共個,已知每個籃球的價格為元,每個足球的價格為元
(1)若購買這兩類球的總金額為元,求籃球和足球各購買了多少個?
(2)元旦期間,商家給出藍球打九折,足球打八五折的優(yōu)惠價,若購買這種籃球與足球各個,那么購買這兩類球一共需要多少錢?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校欲招聘一名新教師,對甲、乙、丙三名應試者進行了面試、筆試和才藝三個方面的量化考核,他們的各項得分(百分制)如下表所示:
應試者 | 面試成績 | 筆試成績 | 才藝 |
甲 | 83 | 79 | 90 |
乙 | 85 | 80 | 75 |
丙 | 80 | 90 | 73 |
(1)根據(jù)三項得分的平均分,從高到低確定應聘者的排名順序;
(2)學校規(guī)定:筆試、面試、才藝得分分別不得低于80分、80分、70分,并按照60%、30%、10%的比例計入個人總分,請你說明誰會被錄用?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠BAC的平分線交⊙O于點D,交BC于點E(BE>EC),且BD=2.過點D作DF∥BC,交AB的延長線于點F.
(1)求證:DF為⊙O的切線;
(2)若∠BAC=60°,DE=,求圖中陰影部分的面積;
(3)若,DF+BF=8,如圖2,求BF的長.
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