Question

如圖所示，已知：AB是⊙O的直徑，CB是⊙O的弦，過點B作BD⊥CP于D，若CP是⊙O的切線．

（1）求證：△ACB∽△CDB；

（2）若⊙O的半徑為1，∠BCP=30°，求圖中陰影部分的面積；

（3）若過點A作AE⊥CP交直線CP于點E，BD=5，AE=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

 解：（1）如圖1，連接OC，

∵直線CP是⊙O的切線，

∴∠BCD+∠OCB=90°，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°

∴∠BCD=∠ACO，

又∵∠BAC=∠ACO，

∴∠BCD=∠BAC，

又∵BD⊥CP

∴∠CDB=90°，

∴∠ACB=∠CDB=90°

∴△ACB∽△CDB；

（2）如圖1，連接OC，

∵直線CP是⊙O的切線，∠BCP=30°，

∴∠COB=2∠BCP=60°，

∴△OCB是正三角形，

∵⊙O的半徑為1，

∴S_△OCB=，S_扇形OCB== π，

故陰影部分的面積=S_扇形OCB﹣S_△OCB=π﹣．

（3）作BG⊥AE于G，連接OC，交BG于F，如圖2，

∵AE⊥CD，AE⊥BG，

∴BG∥ED，

∵BD⊥CD，

∴四邊形EDBG是矩形，

∴GE=BD=5，

∴AG=AE﹣BD=8﹣5=3，

∵直線CD是⊙O的切線，

∴OC⊥ED，

∴OC⊥GB，

∴FG=FB，

∴OA=OB，

∴OF是△ABG的中位線，

∴OF=AG=1.5，

∴OC=1.5+5=6.5．