Question

已知在等式

ax+b

cx+d

=s中，a，b，c，d都是有理數(shù)，x是無理數(shù)，解答：
（1）當a，b，c，d滿足什么條件時，s是有理數(shù)；
（2）當a，b，c，d滿足什么條件時，s是無理數(shù)．

Answer 1

分析：（1）要根據(jù)a，b，c，d是否為0進行分類討論，①當a=c=0，d≠0時，可以判斷出s是有理數(shù)，②當c≠0時，對s進行化簡，然后討論s是有理數(shù)的條件，
（2）根據(jù)題干條件進行分類討論，①當c=0，d≠0，且a≠0時，s很明顯是無理數(shù)，②當c≠0時，對s進行化簡，然后討論s是無理數(shù)的條件．

解答：解：（1）當a=c=0，d≠0時，s=

b

d

是有理數(shù)．
當c≠0時，s=

ax+b

cx+d

=

a c (cx+d)+b- ad c

cx+d

=

a

c

+

b- ad c

cx+d

，
其中：

a

c

是有理數(shù)，cx+d是無理數(shù)，b-

ad

c

是有理數(shù)．
要使s為有理數(shù)，只有b-

ad

c

=0，即bc=ad．
綜上知，當a=c=0且d≠0或c≠0且ad=bc時，s是有理數(shù)．
（2）當c=0，d≠0，且a≠0時，s是無理數(shù)．
當c≠0時，s=

ax+b

cx+d

=

a c (cx+d)+b- ad c

cx+d

=

a

c

+

b- ad c

cx+d

其中：

a

c

是有理數(shù)，cx+d是無理數(shù)，b-

ad

c

是有理數(shù)．
所以當b-

ad

c

≠0，即bc≠ad，s為無理數(shù)．
綜上知，當c=0，a≠0，d≠0或c≠0，ad≠bc時，s是無理數(shù)．

點評：本題主要考查無理數(shù)和有理數(shù)的知識點，進行分類討論是解答的關(guān)鍵，此題學(xué)生很容易出現(xiàn)漏解的情況，需要同學(xué)們仔細作答．