Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，點G，E分別是邊AB，BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．

（1）證明：△AGE≌△ECF；

（2）連接GD，DF．判斷四邊形GEFD的形狀，并說明理由；

Answer 1

【答案】(1)詳見解析； (2)平行四邊形

【解析】（1）證明：∵正方形ABCD，點G，E為邊AB、BC中點，∴AG=EC，△BEG為等腰直角三角形，∴∠AGE=180°﹣45°=135°，又∵CF為正方形外角平分線，∴∠ECF=90°+45°=135°，∵∠AEF=90°，∴∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF，在△AGE和△ECF中，∵∠AGE=∠ECF，AG=CE，∠GAE=∠CEF，∴△AGE≌△ECF（ASA）；

（2）四邊形GEFD是平行四邊形，理由如下：過點F作FM⊥BH于M，過F作FN⊥DC于N，易證△AGD≌△ABE，∴GD=AE，∠BAE=∠ADG，∵△AGE≌△ECF，∴AE=EF，∴GD=EF，在△AGD和△EFM中，∵∠DAG=∠FHE=90°，∠ADG=∠FEH，GD=FE，∴△AGD≌△EFM（AAS），∴GD=EF，在△DFN和△BGE中，∵DN=BE，∠DNF=∠B=90°，NF=BG，∴△DFN≌△BGE（ SAS），∴DF=GE，∴四邊形GEFD是平行四邊形．