Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（m，m）在第一象限，且實(shí)數(shù)m滿足條件：|

3

-m|=m-

m-4

，AB⊥y軸于B，AC⊥x軸于C．

（1）求m的值；
（2）如圖1，BE=1，連接AE，過(guò)A作AF⊥AE交x軸于F，連接EF，D在AO上，且AD=AE，連接ED并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，G為線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC=CG，E為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與O，B重合），F(xiàn)為線段CE的中點(diǎn)，若BF⊥FK交AG于K，請(qǐng)問(wèn)∠FBK的大小是否變化？若不變，請(qǐng)求其值；若改變，求出變化的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）由

m-4

有意義可得m≥4，從而得到|

3

-m|=m-

3

，然后根據(jù)條件就可求出m的值．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖1，易求出OA、AE、AD、OD的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出DH、OH、PH的值，就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）過(guò)點(diǎn)K作KM⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)K作KN⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BF、AC交于點(diǎn)Q，連接KQ，如圖2．易證四邊形AMKN是正方形，則有KM=KN，∠MKN=90°．易證△BFE≌△QFC，則有BF=QF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得KB=KQ，從而可證到Rt△BNK≌Rt△QMK（HL），則有∠BKN=∠QKM，從而可得到∠BKQ=90°，進(jìn)而得到∠KBQ=∠KQB=45°．

解答：解：（1）∵

m-4

有意義，
∴m≥4，
∴|

3

-m|=m-

3

．
∵|

3

-m|=m-

m-4

，
∴m-

3

=m-

m-4

，
解得：m=7，
∴m的值為7．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖1．
∵AB⊥y軸，AC⊥x軸，∠BOC=90°，
∴∠ABO=∠BOC=∠ACO=90°，
∴四邊形ABOC是矩形．
∵m=7，A（m，m），
∴OC=AB=OB=AC=7，
∴AO=7

2

．
∵BE=1，AB=7，
∴AE=

AB2+BE2

=

50

=5

2

．
∵AE=AD，∴AD=5

2

，
∴OD=2

2

．
∵DH⊥OC，AC⊥OC，
∴DH∥AC，
∴△ODH∽△OAC，
∴

OH

OC

=

DH

AC

=

OD

OA

，即

OH

7

=

DH

7

=

2 2

7 2

，
∴OH=DH=2．
同理可得：

PH

OP

=

DH

OE

，
∴

PH

2+PH

=

2

7-1

=

1

3

，
解得：PH=1，
∴OP=OH+PH=2+1=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）．

（3）∠FBK的大小不變．
過(guò)點(diǎn)K作KM⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)K作KN⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
延長(zhǎng)BF、AC交于點(diǎn)Q，連接KQ，如圖2．
∵∠N=∠MAN=∠AMK=90°，
∴四邊形AMKN是矩形．
∵AC=CG，∠ACG=90°，∴∠CAG=45°．
∵∠AMK=90°，∴∠AKM=∠CAG=45°，
∴AM=KM，∴矩形AMKN是正方形，
∴KM=KN，∠MKN=90°．
∵BE∥CQ，∴∠EBF=∠CQF．
在△BFE和△QFC中，

∠EBF=∠CQF ∠EFB=∠CFQ EF=CF

，
∴△BFE≌△QFC（AAS），
∴BF=QF．
∵BF⊥KF，∴KB=KQ．
在Rt△BNK和Rt△QMK中，

KB=KQ KN=KM

，
∴Rt△BNK≌Rt△QMK（HL），
∴∠BKN=∠QKM，
∴∠BKQ=∠BKM+∠QKM=∠BKM+∠BKN=∠MKN=90°，
∴∠KBQ=∠KQB=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)．由

m-4

有意義得到m≥4是解決第（1）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是解決第（3）小題的關(guān)鍵．