Question

把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6cm，DC=7cm把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D₁CE₁（如圖乙）．這時(shí)AB與CD₁相交于點(diǎn)O，與D₁E₁相交于點(diǎn)F．
（1）求∠OFE₁的度數(shù)；
（2）求線段AD₁的長(zhǎng)；
（3）若把三角形D₁CE₁繞著點(diǎn)C順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)30°得△D₂CE₂，這時(shí)點(diǎn)B在△D₂CE₂的內(nèi)部，外部，還是邊上？證明你的判斷．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OFE₁=∠B+∠1，易得∠OFE₁的度數(shù)；
（2）在Rt△AD₁O中根據(jù)勾股定理就可以求得AD₁的長(zhǎng)；
（3）設(shè)BC（或延長(zhǎng)線）交D₂E₂于點(diǎn)P，Rt△PCE₂是等腰直角三角形，就可以求出CB的長(zhǎng)，判斷B在△D₂CE₂內(nèi)．

解答：解：（1）如圖所示，∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；

（2）∵∠OFE₁=120°，
∴∠D₁FO=60°，
∵∠CD₁E₁=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=

1

2

AB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=

1

2

AB=

1

2

×6=3cm，
又∵CD₁=7cm，
∴OD₁=CD₁-OC=7-3=4cm，
在Rt△AD₁O中，AD1=

OA2+OD12

=

32+42

=5cm；

（3）點(diǎn)B在△D₂CE₂內(nèi)部，
理由如下：設(shè)BC（或延長(zhǎng)線）交D₂E₂于點(diǎn)P
則∠PCE₂=15°+30°=45°，
在Rt△PCE₂中，CP=

2

CE₂=

7 2

2

，
∵CB=3

2

＜

7 2

2

，即CB＜CP，
∴點(diǎn)B在△D₂CE₂內(nèi)部．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)角，理解旋轉(zhuǎn)的概念是解題的關(guān)鍵．