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【題目】如圖,已知平行四邊形,過,交,過,交,連接

1)求證:四邊形為平行四邊形;

2)當為菱形,點為的中點時,求的度數.

【答案】1)見詳解 230°

【解析】

1)根據平行四邊形的性質、垂直的定義、平行線的判定定理可以推知AE//CF,然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF,最后根據全等三角形的對應邊相等知AE=CF,所以對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;
2)根據MBC的中點,AMBC(已知),得到△ABC為等邊三角形,然后根據三線合一定理即可求解.

證明:(1)∵AMBC,
∴∠AMB=90°,
CNAD
∴∠CNA=90°

CNAM
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
BCADAD=BC
ADE=CBF,
AMCN,
又∵∠DAE=BCF=90°
∴△ADE≌△CBF(ASA),
AE=CF
∴四邊形AECF為平行四邊形;

2)當AECF為菱形時,連結AC交BF于點O,則AC與EF互相垂直平分,
又∵OBOD

ACBD互相垂直平方,

∴四邊形ABCD是菱形,
AB=BC,

又∵AMBCAM=BM,AM=AM

∴△AMB≌△AMC(SAS)

AB=AC
AB=AC=BC,

∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°

∴∠CBD=ABC=30°

練習冊系列答案
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