Question

如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點均在格點上，其中點A（5，4），B（1，3），將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A₁OB₁．
（1）畫出△A₁OB₁；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中點B所經(jīng)過的路徑長為

 

；
（3）求在旋轉(zhuǎn)過程中線段AB、BO掃過的圖形的面積之和．

Answer 1

考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換,勾股定理,弧長的計算,扇形面積的計算

專題：作圖題

分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應點A₁、B₁的位置，然后順次連接即可；
（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧長公式計算即可得解；
（3）利用勾股定理列式求出OA，再根據(jù)AB所掃過的面積=S_扇形A1OA+S_△A1B1O-S_扇形B1OB-S_△AOB=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB求解，再求出BO掃過的面積=S_扇形B1OB，然后計算即可得解．

解答：解：（1）△A₁OB₁如圖所示；

（2）由勾股定理得，BO=

12+32

=

10

，
所以，點B所經(jīng)過的路徑長=

90•π• 10

180

=

10

2

π；
故答案為：

10

2

π．

（3）由勾股定理得，OA=

52+42

=

41

，
∵AB所掃過的面積=S_扇形A1OA+S_△A1B1O-S_扇形B1OB-S_△AOB=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB，
BO掃過的面積=S_扇形B1OB，
∴線段AB、BO掃過的圖形的面積之和=S_扇形A1OA-S_扇形B1OB+S_扇形B1OB，
=S_扇形A1OA，
=

90•π•( 41 )2

360

，
=

41

4

π．

點評：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，弧長公式，扇形的面積，勾股定理，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應點的位置是解題的關(guān)鍵，難點在于（3）表示出兩線段掃過的面積之和等于扇形的面積．