Question

已知正方形ABCD內(nèi)一點，E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，則此正方形的邊長為________．

Answer 1

2
分析：設E到A點，B點，C點的距離之和的最小值為．以B為旋轉中心，把△AEB按逆時針方向旋轉60°，得△FGB，連CF，
根據(jù)旋轉的性質(zhì)得△BEG是正三角形，則BE=GE，得到AE+EB+CE=FG+GE+EC≥FC，當且僅當取等號時，AE+BE+CE最小，所以
FC=+；設正方形的邊長為2x，過F作FG⊥BC于G點，則FG=x，BG=x，則CG=（2+）x，在Rt△FGC中，利用勾股定理即可得到x的值，則正方形的邊長即可得到．
解答：解：如圖，設E到A點，B點，C點的距離之和的最小值為．
以B為旋轉中心，把△AEB按逆時針方向旋轉60°，得△FGB，連CF，
∴△BEG是正三角形，
∴BE=GE，
∴AE+EB+CE=FG+GE+EC≥FC，當且僅當取等號時，AE+BE+CE最小，
∴FC=+，
設正方形的邊長為2x，過F作FG⊥BC于G點，如圖，
∵∠ABF=60°，
∴∠FBG=30°，
∴FG=x，BG=x，則CG=（2+）x，
在Rt△FG′C中，F(xiàn)C²=FG²+GC²，即（+）²=x²+[（2+）x]²，
解得x=1，
∴正方形的邊長為2x=2．
故答案為2．
點評：本題考查了旋轉的性質(zhì)：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了正方形和等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理．