Question

已知四邊形ABCD，∠B+∠D=180°，∠BCD=120°，BC=CD，點(diǎn)M、N分別在直線AB、AD上，∠MCN=60°，現(xiàn)將∠MCN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在AD上時(shí)，則線段BM、DN、MN之間的數(shù)量關(guān)系為

 

；
（2）如圖2，點(diǎn)M在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，則線段BN、DM、MN之間的數(shù)量關(guān)系為

 

；
（3）如圖3，點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在DA的延長(zhǎng)線時(shí)，則線段BM、DN、MN之間的數(shù)量關(guān)系為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在DN的延長(zhǎng)線上截取DM₁=BM，連接CM₁．可證△DCM≌△CDM₁，即可得CM=CM₁，∠MCB=∠M₁CD，M₁C=BM，易證得∠M₁CN=∠MCN=60°，則可證得△MCN≌△M₁CN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得BM+NC=MN．
（2）首先在BN上截取BM₁=DM，連接CM₁，可證△DCM≌△BCM₁，即可得DM=DM₁，DM=BM₁，∠M₁CB=∠MCD，然后證得∠M₁CN=∠MCN=60°，易證得△MCN≌△M₁CN，則可得MN+DM=BN．
（3））首先在DN上截取DM₁=BM，連接CM₁，可證CBM≌△CDM₁，即可得CM=CM₁，∠MCB=∠M₁CD，BM=DM₁，然后證得∠M₁CN=∠MCN=60°，易證得△MCN≌△M₁CN，則可得ND-BM=MN．

解答：（1）答：如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN．
 
證明：在DN的反向延長(zhǎng)線上截取DM₁=BM，連接CM₁．
∵∠B+∠D=180°，∠CDN+∠CDM=180°，
∴∠B=∠CDM，
在△BCM與△DCM₁中，

BM=DM1 ∠B=∠CDM1 BC=CD

，
∴△BCM≌△DCM₁（SAS），
∴CM=CM₁，∠MCB=∠M₁CD，M₁C=BM，
∵∠MCN=60°，∠BCD=120°，
∴∠M₁CN=∠MCN=60°，
∴△MCN≌△M₁CN，
∴MN=M1N=M₁D+ND=BM+ND，
即MN=BM+ND．

（2）MN+DN=BM；
證明：如圖2，在BM上截取BN₁=DN，連接CN₁．

可證△DCN≌△BCN₁，
∴CN=CN₁，DN=BN₁，∠N₁CB=∠NCD，
∵∠MCN=60°，∠BCD=120°，
∴∠N₁CM=∠MCN=60°，
在△MCN與△MCN₁中，

BN1=DN ∠MCN1=∠MCN BC=CD

，
∴△MCN≌△MCN₁（SAS），
∴MN=MN₁，
∴MN+DN=BM．

（3）ND-BM=MN；
證明：如圖3，在DN上截取DM₁=BM，連接CM₁．

可證△CBM≌△CDM₁，
∴CM=CM₁，∠MCB=∠M₁CD，BM=DM₁，
∵∠MCN=60°，∠BCD=120°，
∴∠M₁CN=∠MCN=60°，
在△NCM1和△NCM中

CM1=CM ∠N1CM=∠NCM CN=CN

，
∴△NCM1≌△NCM（SAS），
∴MN=M₁N，
∴ND-BM=MN．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．