Question

如圖，圓O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC=30°，CD是圓O的切線，ED⊥AB于F，
（1）判斷△DCE的形狀，并給出合適的說明；
（2）設(shè)圓O的半徑為2，且OF=

3

-1，求CE、DE的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）求出∠A=60°，求出∠OCB=30°，即可求出∠DCE=∠E=30°，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可；
（2）求出AF，根據(jù)AE=2AF即可求出AE，求出CE即可，證△BCO≌△CDE，推出DE=OB即可．

解答：解：（1）△CDE是等腰三角形，
理由是：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∵CD是切線，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE=180°-90°-60°=30°，
∵ED⊥AB，
∴∠EFA=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠E=30°=∠DCE，
∴DC=DE，即△DCE是等腰三角形；

（2）在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=AO=2，
∴BC=

42-22

=2

3

，
∵OF=

3

-1，
∴AE=2AF=2

3

+2，
∴CE=AE-AC=2

3

，
∵∠OCB=∠ACB-∠ACO=30°=∠ABC，
∴在△BCO和△CDE中

∠CBO=∠DCE BC=CE=2 3 ∠BCO=∠E

∴△BCO≌△CDE（ASA），
∴DE=OB=2．

點評：本題考查了勾股定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強，是一道比較好的題目．