Question

【題目】如圖，中， ，以為直徑的交邊于點，連接，過作的垂線，交邊于點，交邊的延長線于點．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求劣弧的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2π．

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理求出AD⊥BC，得出AD平分∠BAC，即可推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）由OD⊥DF得∠ODF=90°，利用含30度的直角三角形三邊的關系OF=2OD，即OB+3=2OD，可解得OD=3，再計算出∠AOD=90°+∠F=120°，然后根據(jù)弧長公式求解．

證明：（1）連接OD，

∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD過O，
∴EF是⊙O的切線．
（2）∵OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∵∠F=30°，
∴OF=2OD，即OB+3=2OD，
而OB=OD，
∴OD=3，
∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°，
∴劣弧的長度=＝2π．