Question

如圖，點(diǎn)M、N是邊長(zhǎng)為4的正△ABC邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：將△AMN沿MN折疊，使A點(diǎn)恰好落在BC邊上的D點(diǎn)處．
（1）求證：△BDM∽△CND；
（2）若BD：CD=2：3，試求AM：AN的值；
（3）若DM⊥BC，試求CM的值；
（4）當(dāng)D從B移動(dòng)到C，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的總路線長(zhǎng)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：探究型

分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知，∠A=∠B=∠C=60°，根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)可知，∠MDN=∠A=60°，故∠MDB+∠NDC=120°，在△BDM中由于∠MDB+∠BMD=120°，所以∠BMD=∠NDC，故可得出結(jié)論；
（2）由△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BD：CD=2：3，可知BD、CD的長(zhǎng)，再由（1）中△BDM∽△CND，可知BM：2.4=1.6：CN=DM：DN，再把AM=MD，AN=ND，BM=4-AM，CN=4-AN代入即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)DM⊥BC時(shí)，連接CM，設(shè)BM=x，則MD=AM=4-BM=4-x，在Rt△BDM中，由sinB=sin60°=

MD

BM

=

4-x

x

=

3

2

可求出x的值，進(jìn)而得出MD及BD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可求出CM的長(zhǎng)；
（4）當(dāng)ND⊥BC時(shí)，N點(diǎn)到達(dá)離C點(diǎn)最遠(yuǎn)處，同（3）可知此時(shí)NC=8（2-

3

），當(dāng)D點(diǎn)繼續(xù)向C點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，N往AC中點(diǎn)移動(dòng)，由此即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵∠MDN=∠A=60°，
∴∠MDB+∠NDC=120°，
又∵在△BDM中，∠MDB+∠BMD=120°，
∴∠BMD=∠NDC，
∴△BDM∽△CND；

（2）解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BD：CD=2：3，
∴BD=1.6，CD=2.4，
∵由（1）知，△BDM∽△CND，
∴BM：2.4=1.6：CN=DM：DN，
∵AM=MD，AN=ND，BM=4-AM，CN=4-AN，
∴（4-AM）：2.4=1.6：（4-AN）=AM：AN，
∴2.4AM=4AN-AN•AM①，1.6AN=4AM-AM•AN②，
①-②得，2.4AM-1.6AN=4AN-4AM，即6.4AM=5.6AN
∴AM：AN=（5.6）：（6.4）=7：8；

（3）解：如圖所示，當(dāng)DM⊥BC時(shí)，連接CM，設(shè)BM=x，則MD=AM=4-BM=4-x
∵在Rt△BDM中，sinB=sin60°=

MD

BM

=

4-x

x

=

3

2

，解得x=8（2-

3

），
∴MD=4-x=4-8（2-

3

）=8

3

-12，
∴BD=

1

2

BM=4（2-

3

），
∴CD=4-BD=4-4（2-

3

）=4

3

-4
∴CM=

MD2+CD2

=

(8 3 -12)2+(4 3 -4)2

=4

25-14 3

；

（4）解：∵當(dāng)ND⊥BC時(shí)，N點(diǎn)到達(dá)離C點(diǎn)最遠(yuǎn)處，
∴同（3）可知此時(shí)NC=8（2-

3

）
∵當(dāng)D點(diǎn)繼續(xù)向C點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，N往AC中點(diǎn)移
∴N點(diǎn)的路程是：2×8（2-

3

）-

1

2

×4=30-16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定定理等相關(guān)知識(shí)，難度適中．