【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x﹣3a經(jīng)過A(1,0)、B(b,0)、C(0,c)三點.

(1)求b,c的值;

(2)在拋物對稱軸上找一點P,使PA+PC的值最小,求點P的坐標;

(3)點M為x軸上一動點,拋物線上是否存在一點N,使以A,C,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形?若存在,直接寫出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)b=﹣3;(2)P(﹣1,﹣2);(3)存在點N,使以A,C,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形.符合條件的點N的坐標為(﹣2,﹣3),(﹣1+,3)或(﹣1﹣,3).

【解析】

(1)先把A(1,0)代入拋物線y=ax2+2x﹣3a求出a的值,然后再分別把Bb,0)、C(0,c的值代入即可求出b,c的值;

(2)根據(jù)軸對稱的性質找出點P的位置,然后求出直線BC的解析式和對稱軸方程,二者聯(lián)立可求出點P的坐標;

(3)分當點Nx軸下方時和當點Nx軸上方時兩種情況求解即可.

解:(1)把A(1,0)代入拋物線y=ax2+2x﹣3a,

可得:a+2﹣3a=0

解得a=1.

拋物線的解析式為:y=x2+2x﹣3;

把B(b,0),C(0,c)代入y=x2+2x﹣3,

可得:b=1或b=﹣3,c=﹣3,

∵A(1,0),

∴b=﹣3;

(2)∵拋物線的解析式為:y=x2+2x﹣3,

其對稱軸為直線x=﹣=﹣1,

連接BC,如圖1所示,

∵B(﹣3,0),C(0,﹣3),

設直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),

解得,

直線BC的解析式為y=﹣x﹣3,

當x=﹣1時,y=1﹣3=﹣2,

∴P(﹣1,﹣2);

(3)存在點N,使以A,C,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形.

如圖2所示,

當點N在x軸下方時,

拋物線的對稱軸為直線x=﹣1,C(0,﹣3),

∴N1(﹣2,﹣3);

當點N在x軸上方時,

如圖2,過點N'作N'Dx軸于點D,

AN'D與M'CO中,

∴△AN'D≌△M'CO(AAS),

N'D=OC=3,即N'點的縱坐標為 3.

∴3=x2+2x﹣3,

解得x=﹣1+或x=﹣1﹣,

∴N'(﹣1+,3),N“(﹣1﹣,3).

綜上所述,符合條件的點N的坐標為(﹣2,﹣3),(﹣1+,3)或(﹣1﹣,3).

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