【題目】如圖,直線l:y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,拋物線y=ax2-2ax+a+4(a<0)經(jīng)過點B.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)已知點M是拋物線上的一個動點,并且點M在第一象限內,連接AM、BM,設點M的橫坐標為m,△ABM的面積為S,求S與m的函數(shù)表達式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當S取得最大值時,動點M相應的位置記為點M′.
①寫出點M′的坐標;
②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′,當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉,在旋轉過程中,直線l′與線段BM′交于點C,設⊙B, ⊙M′都與直線l′相切,半徑分別為R1、R2 , 當R1+R2最大時,求直線l′旋轉的角度(即∠BAC的度數(shù)).

【答案】
(1)解:∵y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,
∴A(1,0),B(0,3),
又∵拋物線y=ax2-2ax+a+4(a<0)經(jīng)過點B,
∴a+4=3,
∴a=-1,
∴拋物線解析式為:y=x2+2x+3 .
(2)解:由(1)知拋物線解析式為y=x2+2x+3 ,
令y=0,
x2+2x+3=0 ,
∴x1=3,x2=-1,
設M(m,m2+2m+3 ),
又∵點M在第一象限,
∴0m3,
又∵A(1,0),B(0,3),
∴S=SΔABM=S四邊形OAMBSRtΔAOB,
=SΔOBM+SΔOAMSRtΔAOB
=×OB×xM+×OA×yM×OA×OB,
=×3×m+×1×(m2+2m+3)-×1×3,
=m2+m ,
=-(m-2+,
∴當m=時,Smax.
(3)解:①由(2)知當m=時,Smax.
∴y=-+5+3=,
∴M′().
②如圖:作BD⊥l′于點D,M′E⊥l′于點E,
∵⊙B, ⊙M′都與直線l′相切,
∴BD=R1,M′E=R2,
∴S=SΔABM=SΔABC+SΔACM′,
即S=×AC×BD+×AC×M′E=×AC×(R1+R2),
當R1+R2最大時,AC就取得最小值,
∴AC⊥BM′時,AC取得最小值,
又∵M′(,),B(0,3),
∴BM′=,
∴S=××AC=.
∴AC=
∵A(1,0),B(0,3),
∴AB=,
在Rt△ACB中,
∴cos∠BAD===,
∴∠BAD=45°,
即直線l′旋轉的角度45°.


【解析】(1)由直線解析式與坐標軸的交點即可得A(1,0),B(0,3),再將B點坐標代入拋物線求出a值,從而得出拋物線解析式.
(2)由(1)知拋物線解析式為y=x2+2x+3 ,A(1,0),B(0,3),設M(m,m2+2m+3 ),令y=0,結合已知條件即可得m的取值范圍為:
0m3,再由S=S四邊形OAMBSRtΔAOB=SΔOBM+SΔOAMSRtΔAOB,代入即可得出S=m2+m ,根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求出最大值.
(3)①由(2)知當m=時,Smax.將m=代入拋物線解析式即可求出M的縱坐標,即M′(,).
②作BD⊥l′于點D,M′E⊥l′于點E根據(jù)切線性質得BD=R1,M′E=R2,由三角形面積公式S=SΔABM=SΔABC+SΔACM′=×AC×(R1+R2),當R1+R2最大時,AC就取得最小值,即AC⊥BM′時,AC取得最小值,根據(jù)兩點間距離得BM′=,AB=,代入即可得AC=,在Rt△ACB中,由銳角三角函數(shù)定義得cos∠BAD===,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得∠BAD=45°,即直線l′旋轉的角度45°.
【考點精析】關于本題考查的二次函數(shù)的最值和三角形的面積,需要了解如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a;三角形的面積=1/2×底×高才能得出正確答案.

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