Question

如圖，直線y=-

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x+1與x軸，y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90度．且點P（1，a）為坐標系中的一個動點．
（1）求三角形ABC的面積S_△ABC；
（2）求點C的坐標；
（3）證明不論a取任何實數(shù)，△BOP的面積是一個常數(shù)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：綜合題

分析：（1）由題可得點A、B的坐標，從而得到OA、OB的長，根據(jù)勾股定理可求出AB，就可求出等腰直角△ABC的面積；
（2）過點C作CH⊥x軸于點H，如圖1，易證△AOB≌△CHA，從而得到AH、CH，就可得到點C的坐標；
（3）過點P作PE⊥y軸于點E，如圖2，由P（1，a）可得PE=1，從而得到△BOP的面積是一個常數(shù)．

解答：解：（1）∵直線y=-

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x+1與x軸，y軸分別交于點A、B，
∴點A的坐標為（

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，0），點B的坐標為（0，1），
∴OA=

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，OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴AB=

OA2+OB2

=2．
∴AC=AB=2，
∵∠BAC=90°，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=2；

（2）過點C作CH⊥x軸于點H，如圖1，

則∠AHC=90°．
∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°，
∴∠OAB=180°-90°-∠HAC=90°-∠HAC=∠HCA．
在△AOB和△CHA中，

∠AOB=∠CHA ∠OAB=∠HCA AB=CA

，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AO=CH=

3

，OB=HA=1，
∴OH=OA+AH=

3

+1，
∴點C的坐標為（

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+1，

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）；

（3）證明：過點P作PE⊥y軸于點E，如圖2．

∵P（1，a），
∴PE=1，
∴S_△BOP=

1

2

OB•PE=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴不論a取任何實數(shù)，△BOP的面積都是一個常數(shù)．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式等知識，構(gòu)造全等三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵．