【題目】已知:等邊△ABC中,點E為△ABC內一點.
(1)如圖1,聯(lián)結AE、BE并延長分別與BC、CA邊交于點D、F。如果∠AEB=120°,求證:△ABD△BCF。
(2)如圖2、以AE為一邊作等邊△AEF,聯(lián)結BE、CF,求證:BE=CF.
(3)如圖3、點D為BC的中點,聯(lián)結BE、CE,若∠BEC=120°,聯(lián)結AE、DE,求證:AE=2DE.
【答案】(1)見詳解;(2)見詳解;(3)見詳解.
【解析】
(1)由∠AEB=120°,得到∠BAE+∠ABE=60°,即可得到∠BAE=∠CBF,然后利用ASA證明△ABD≌△BCF即可;
(2)由等邊三角形△ABC、△AEF,得到AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=60°,則得到∠BAE=∠CAF,然后證明△ABE≌△ACF,即可得到結論成立;
(3)把△ABE逆時針旋轉60°,得到△ACF,連接EF,延長ED至點G,使得ED=DG,連接CG. 由旋轉的性質,得△ABE≌△ACF,且△AEF時等邊三角形;由∠BEC=120°,得到∠EBD+∠ECD=60°,根據(jù)角的等量代換得到∠ECF=∠ECG=60°,然后得到△ECG≌△ECF,得到EG=EF=AE,即可得到AE=2ED.
證明:(1)如圖,
在等邊△ABC中,有AB=BC,∠ABC=∠C=60°,
∵∠AEB=120°,
∴∠BED=180°120°=60°,
∴∠BAE+∠ABE=60°,
∵∠CBF+∠ABE=∠ABC=60°,
∴∠BAE=∠CBF,
∴△ABD≌△BCF(ASA);
(2)如圖,
∵△ABC和△AEF是等邊三角形,
∴AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴BE=CF;
(3)如圖,把△ABE逆時針旋轉60°,得到△ACF,連接EF,延長ED至點G,使得ED=DG,連接CG.
由旋轉的性質,得:△ABE≌△ACF,且△AEF時等邊三角形,
∴AE=AF=EF,BE=CF,∠ABE=∠ACF,
∵∠BEC=120°,
∴∠EBD+∠ECD=60°,
∵∠EBD+∠ABE=∠ABC=60°,
∴∠ABE=∠ECD=∠ACF,
∴∠ACF+∠ACE=∠ECD+∠ACE=∠ACB=60°,
∴∠ECF=60°.
∵ED=DG,∠BDE=∠CDG,BD=CD,
∴△BDE≌△CDG,
∴BE=CG=CF,∠EBD=GCD,
∴∠GCD+∠ECD=∠EBD+∠ABE=∠ABC=60°,
∴∠ECG=60°,
∴∠ECF=∠ECG=60°,
在△ECG和△ECF中,
,
∴△ECG≌△ECF,
∴EG=EF=AE,
∵EG=2ED,
∴AE=2ED.
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【題目】將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉θ度,并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍,得△AB′C′,即如圖①,我們將這種變換記為[θ,n].
(1)如圖①,對△ABC作變換[60°,]得△AB′C′,則S△AB′C′:S△ABC= ;直線BC與直線B′C′所夾的銳角為 度;
(2)如圖②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,對△ABC 作變換[θ,n]得△AB'C',使點B、C、C′在同一直線上,且四邊形ABB'C'為矩形,求θ和n的值;
(3)如圖③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=l,對△ABC作變換[θ,n]得△AB′C′,使點B、C、B′在同一直線上,且四邊形ABB'C'為平行四邊形,求θ和n的值.
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【題目】如圖,直線l為y=x,過點A1(1,0)作A1B1⊥x軸,與直線l交于點B1,以原點O為圓心,OB1長為半徑畫圓弧交x軸于點A2;再作A2B2⊥x軸,交直線l于點B2,以原點O為圓心,OB2長為半徑畫圓弧交x軸于點A3;……,按此作法進行下去,則點An的坐標為(_______).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標是(20,0),點B的坐標是(16,0),點C、D在以OA為直徑的半圓M上,且四邊形OCDB是平行四邊形,則點C的坐標為______.
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【題目】如圖:△ABC的周長為30cm,把△ABC的邊AC對折,使頂點C和點A重合,折痕交BC邊于點D,交AC邊與點E,連接AD,若AE=4cm,則△ABD的周長是( )
A. 22cmB. 20cmC. 18cmD. 15cm
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【題目】如圖,EA⊥AB,BC⊥AB,AB=AE=2BC,D為AB中點,在“①DE=AC;②DE⊥AC;③∠EAF=∠ADE;④∠CAB=30°”這四個結論中,正確的個數(shù)有 ( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如果二次函數(shù)的圖象與軸有兩個公共點,那么一元二次方程有兩個不相等的實根,請根據(jù)你對這句話的理解,解決下列問題:若、(<)是關于的方程的兩根,且<則、、、的大小關系是( )
A. <<< B. <<<
C. <<< D. <<<
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【題目】已知:如圖,,點為內一點,,分別是點關于、的對稱點,連接,分別交于、于.如果,的周長為,的度數(shù)為,請根據(jù)以上信息完成作圖,并指出和的值( )
A.,B.,C.,D.,
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【題目】問題情境:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°∠BAC=30°.
動手操作:(1)若以直角邊AC所在的直線為對稱軸.將Rt△ABC作軸對稱變換,請你在原圖上作出它的對稱圖形:
觀察發(fā)現(xiàn):(2)Rt△ABC和它的對稱圖形組成了什么圖形?你最準確的判斷是 .
合作交流:(3)根據(jù)上面的圖形,請你猜想直角邊BC與斜邊AB的數(shù)量關系,并證明你的猜想.
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