Question

如圖1，直線y=-

1

2

x+1交x軸于點A，交y軸于點B，C（m，-m）是直線AB上一點，雙曲線y=

k

x

經過C點．
（1）求點C的坐標及雙曲線的解析式．
（2）如圖2，以CB為邊在直線AB的上方作正方形BCDE，求點D的坐標，并判斷點D是否在（1）中所求雙曲線上？
（3）如圖3，M，F分別是正方形BCDE的邊CD，BC上的點，且MF∥BD，在ED的延長線上取一點K，使得DK=DE，KM與EF相交于點H，證明：∠EDH=2∠BEF．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）把C的坐標代入一次函數的解析式，即可得到一個關于m的方程，解得m的值，即可得到C的坐標，然后利用待定系數法求得函數的解析式；
（2）作CM⊥y軸于點M，DN⊥y軸于點N，DF⊥CM于點F，然后證明△CDF≌△BCM，即可求得D的坐標，代入雙曲線的解析式即可判斷；
（3）證明△KDM≌△EBF，證得∠KMD=∠EFB，然后證明△KHE是直角三角形，根據直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半，利用等邊對等角，以及三角形的外角的性質即可證得．

解答：解：（1）把x=m，y=-m代入y=-

1

2

x+1，得：-m=-

1

2

m+1，
解得：m=-2，
則C的坐標是（-2，2），
代入y=

k

x

得：k=-4，
則雙曲線的解析式是：y=-

4

x

；

（2）在y=-

1

2

x+1中，令x=0，解得：y=1，則B的坐標是（0，1）．
作CM⊥y軸于點M，DN⊥y軸于點N，DF⊥CM于點F．
則CM=2，AM=2，BM=2-1=1．
∵∠DCB=∠DCM+∠MCB=90°，
又∵直角△BCM中，∠MCB+∠CBM=90°，
∴∠DCM=∠CBM，
則在△CDF和△BCM中，

∠DCM=∠CBM ∠CFD=∠CMB CD=BC

，
∴△CDF≌△BCM，
∴CF=BM=1，DF=CM=2，
∴MN=DF=2，
則AN=4，DN=FM=CM-CF=1，
則D的坐標是（-1，4），
滿足y=-

4

x

，即D在雙曲線上；

（3）∵BCDE是正方形，
∴BC=CD，
又∵MF∥BD，
∴CM=CF，
∴MD=FB，
∴在△KDM和△EBF中，

KD=EB ∠KDM=∠EBF MD=FB

，
∴△KDM≌△EBF，
∴∠KMD=∠EFB，
∴∠CMH+∠CFH=∠KMD+∠CFH=∠EFB+∠CFH=180°，
又∠MCF=90°，
∴∠MHF=90°，
∴△KHE是直角三角形．
又∵DK=DE，
∴KD=DP，
∴∠K=∠DHP，
又∵∠EDH=∠K+∠DHK，∠KMD=∠EFB，
∴∠EDH=2∠BEF．

點評：本題考查了正方形的性質以及待定系數法求函數的解析式，全等三角形的判定與性質，正確求得D的坐標，以及證明△KDM≌△EBF是關鍵．