Question

如圖1，直線y1=

3

4

x+12與直線y2=-

4

3

x+12交y軸于點C，分別交x軸于點A、B，半徑為r₁的半圓P₁的圓心在AB邊上，且與直線y₁，y₂都相切．
（1）求出A、B、C三點的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，并求出r₁的值；
（3）在上述條件下：
①半徑均為r₂，圓心P₁、P₂都在AB邊上的兩個半圓相外切，且半圓P₁與直線y₁相切，半圓P₂與直線y₂相切（如圖2），則r₂=

 

．
②半徑均為r_n，圓心P₁、P₂、P₃、…P_n都在AB邊上的n個半圓依次相外切，且半圓P₁與直線y₁相切，半圓P_n與直線y₂相切（如圖3），則r_n=

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征易得A點坐標為（-16，0），B點坐標為（9，0），C點坐標為（0，12）；
（2）先利用勾股定理計算出AC=20，BC=15，且AB=25，由于15²+20²=25²，則BC²+AC²=AB²，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形；
作P₁E⊥AC于E，P₁F⊥BC于F，連接CP₁，根據(jù)切線的性質(zhì)得P₁E=P₁F=r₁，由于S_△P1AC+S_△P1BC=S_△ABC，根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

•20•r₁+

1

2

•15•r₁=

1

2

•20•15，解方程得到r₁=

60

7

；
（3）①作P₁E⊥AC于E，P₂F⊥BC于F，連接CP₁，CP₂，根據(jù)切線的性質(zhì)得P₁E=P₂F=r₂，由于S_△P1AC+S_△CP1P2+S_△P2BC=S_△ABC，根據(jù)三角形面積公式得

1

2

•20•r₂+

1

2

•12•2r₂+

1

2

•15•r₂=

1

2

•20•15，解方程得到r₂=

300

59

；②作P₁E⊥AC于E，P₂F⊥BC于F，連接CP₁，CP_n，如圖3，根據(jù)切線的性質(zhì)得P₁E=P₂F=r₂，由于S_△P1AC+S_△CP1Pn+S_△PnBC=S_△ABC，根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

•20•r_n+

1

2

•12•2（n-1）•r_n+

1

2

•15•r_n=

1

2

•20•15，解得r_n=

300

24n+11

．

解答：解：（1）把y=0代入y₁=

3

4

x+12得

3

4

x+12=0，解得x=-16，則A點坐標為（-16，0）；
把y=0代入y₂=-

4

3

x+12得-

4

3

x+12=0，解得x=9，則B點坐標為（9，0）；
把x=0代入y₁=

3

4

x+12得y₁=12=0，則C點坐標為（0，12）；

（2）∵OC=12，OA=16，OB=9，
∴AC=

OA2+OC2

=20，BC=

OB2+OC2

=15，AB=25，
∵15²+20²=25²，
∴BC²+AC²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，
作P₁E⊥AC于E，P₁F⊥BC于F，連接CP₁，如圖1，
∵半徑為r₁的半圓P₁與直線y₁，y₂都相切，
∴P₁E=P₁F=r₁，
∵S_△P1AC+S_△P1BC=S_△ABC，
∴

1

2

•20•r₁+

1

2

•15•r₁=

1

2

•20•15
∴r₁=

60

7

；

（3）①作P₁E⊥AC于E，P₂F⊥BC于F，連接CP₁，CP₂，如圖2，
∵半圓P₁與直線y₁相切，半圓P₂與直線y₂相切，
∴P₁E=P₂F=r₂，
∵S_△P1AC+S_△CP1P2+S_△P2BC=S_△ABC，
∴

1

2

•20•r₂+

1

2

•12•2r₂+

1

2

•15•r₂=

1

2

•20•15
∴r₂=

300

59

；
②作P₁E⊥AC于E，P₂F⊥BC于F，連接CP₁，CP_n，如圖3，
∵半圓P₁與直線y₁相切，半圓P_n與直線y₂相切，
∴P₁E=P₂F=r₂，
∵S_△P1AC+S_△CP1Pn+S_△PnBC=S_△ABC，
∴

1

2

•20•r_n+

1

2

•12•2（n-1）•r_n+

1

2

•15•r_n=

1

2

•20•15
∴r_n=

300

24n+11

．
故答案為

300

59

，

300

24n+11

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；會利用勾股逆定理證明三角形為直角三角形；會計算三角形的面積．