Question

如圖，O為矩形ABCD對角線的交點(diǎn)，過O作EF⊥AC，分別交AD、BC于F、E，若AB=2cm，BC=4cm．
（1）求四邊形AECF的面積；
（2）求EF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠OAD=∠OCB，即可證明△AOF≌△COE，可得EO=FO，即可判定四邊形AECF為菱形，AE=CE，根據(jù)在RT△ABE中，滿足AB²+BE²=AE²，即可求得CE的長，即可解題；
（2）根據(jù)勾股定理可求得AC的長，再根據(jù)菱形面積計(jì)算公式即可求得EF的長，即可解題．

解答：解：（1）∵AF∥BC，
∴∠OAD=∠OCB，
∵O為矩形ABCD對角線的交點(diǎn)，
∴OA=OC，
在△AOF和△COE中，

∠OAD=∠OCB OA=OC ∠COE=∠AOF

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴EO=FO，
∵AO=CO，
∴四邊形AECF為菱形，
∴AE=CE，
設(shè)BE=x，則AE=CE=4-x，
在RT△ABE中，2²+x²=（4-x）²，
解得：x=

3

2

cm，
∴CE=

5

2

cm，
∴四邊形AECF的面積=CE•AB=5cm²；
（2）∵四邊形AECF的面積=5cm²=

1

2

AC•EF，
∴EF=

10

AC

，
∵在RT△ABC中，AC²=AB²+BC²，
∴AC=2

5

cm，
∴EF=

10

AC

=

5

cm．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的判定和菱形各邊長相等的性質(zhì)，考查了菱形的面積計(jì)算公式，本題中判定四邊形AECF為菱形是解題的關(guān)鍵．