Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)．

（1）如圖1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，點(diǎn)為拋物線在第一象限上一點(diǎn)，連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的長(zhǎng)為，求與之間的函數(shù)解析式，不要求寫出自變量的取值范圍；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，，若，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）代入點(diǎn)(0，0)，先求出a的值，然后將二次函數(shù)配成頂點(diǎn)式，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線，交x軸于點(diǎn)K，ED交x軸于點(diǎn)B；設(shè)點(diǎn)，△PKO∽△EBO，可得到EB的長(zhǎng)，加上BD的長(zhǎng)即為ED的長(zhǎng)；

（3）如下圖，連接AG、AE，過(guò)點(diǎn)B、G分別作AG、x軸垂線，交于點(diǎn)M、N.先利用Rt△BGM求得BM、GM的長(zhǎng)，在利用Rt△ABM得到tan∠BAG，然后結(jié)合Rt△ANG得到AN、GN的長(zhǎng)，從而推導(dǎo)出ON的長(zhǎng)，接著便可證△OGB是直角三角形，從而推導(dǎo)出∠EOB=30°，得出結(jié)論

（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)(0，0)，代入拋物線得：

0=0-0+28a-7，解得：

則拋物線為：

∴

（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線，交x軸于點(diǎn)K，ED交x軸于點(diǎn)B

設(shè)

∴PK=，OK=t

∵

∴

∴OB=

∵PK∥EB，∴△PKO∽△EBO

∴，即：

解得：

∴

（3）如下圖，連接AG、AE，過(guò)點(diǎn)B、G分別作AG、x軸垂線，交于點(diǎn)M、N

設(shè)，∠GEA=120°

∵EB是AO的垂直平分線,∴EA=EO,∴

∴在△GEA中，∠EGA=∠EAG=

∴∠BGA=30°

∵拋物線解析式為：

可得：AB=2，OB=2

∵BG=2，∴在Rt△BGM中，BM=，GM=3

∴在Rt△ABM中，MA=5

∴

∵AG=3+5=8

∴在Rt△AGN中，GN=，AN=

∴NB=AN-AB=，∴ON=OB-BN=

∴在Rt△ONG中，OG=4

∴在△OGB中，三邊滿足勾股定理逆定理，即∠BGO=90°

∴，

∵，OB=2，∠EOB=30°

∴EB=OB，即(t-14)=

解得：