Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)B(0，3)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AO方向向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度，連結(jié)PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0＜t＜2)．

(1)求直線AB的解析式；

(2)設(shè)△AQP的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時(shí)平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(4)連結(jié)PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四邊形，那么是否存在某一時(shí)刻，使四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)和菱形的邊長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

  設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∴
解得，
∴直線AB的解析式是y=-x+3．

（2）在Rt△AOB中，AB==5，
依題意，得BP=t，AP=5-t，AQ=2t，
過點(diǎn)P作PM⊥AO于M，
∵△APM∽△ABO，
∴，
∴，
∴PM=3-t，
∴y=AQ•PM=•2t•（3-t）=-t²+3t．


解得t=1．
若PQ把△AOB面積平分，則S_△APQ=S_△AOB，
∴-t²+3t=3，
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在某一時(shí)刻t，使線段PQ把△AOB的周長和面積同時(shí)平分．

（4）存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP'O為菱形，
過點(diǎn)P作PN⊥BO于N，
若四邊形PQP′O是菱形，則有PQ=PO，
∵PM⊥AO于M，
∴QM=OM，
∵PN⊥BO于N，可得△PBN∽△ABO，
∴，
∴，
∴PN=t，
∴QM=OM=t，
∴t+t+2t=4，
∴t=，
∴當(dāng)t=時(shí)，四邊形PQP′O是菱形，
∴OQ=4-2t=，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（，0）．
∵PM=3-t=，OM=t=，
在Rt△PMO中，PO===，
∴菱形PQP′O的邊長為．