Question

如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM＝|CE－EO|，再以CM、CO為邊作矩形CMNO．

(Ⅰ)試比較EO、EC的大小，并說明理由；

(Ⅱ)令，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，若CO＝1，CE＝，Q為AE上一點，且QF＝，拋物線y＝mx²＋bx＋c經過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式；

(Ⅳ)在(Ⅲ)的條件下，若拋物線y＝mx²＋bx＋c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似？若存在，求直線KP與y軸的交點T的坐標？若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)EO＞EC，理由如下： 　　由折疊知，EO＝EF，在Rt△EFC中，EF為斜邊，∴EF＞EC，故EO＞EC　　2分 　　(Ⅱ)m為定值 　　∵S四邊形CFGH＝CF2＝EF2－EC2＝EO2－EC2＝(EO＋EC)(EO―EC)＝CO·(EO―EC) 　　S四邊形CMNO＝CM·CO＝|CE―EO|·CO＝(EO―EC)·CO 　　∴　　4分 　　(Ⅲ)∵CO＝1，∴EF＝EO＝ 　　∴cos∠FEC＝∴∠FEC＝60°， 　　∴ 　　∴△EFQ為等邊三角形， 　　作QI⊥EO于I，EI＝，IQ＝ 　　∴IO＝∴Q點坐標為 　　∵拋物線y＝mx2＋bx＋c過點C(0，1)，Q，m＝1 　　∴可求得，c＝1∴拋物線解析式為　　8分 　　(Ⅳ)由(Ⅲ)， 　　當時，＜AB 　　∴P點坐標為∴BP＝AO， 　　若△PBK與△AEF相似，而△AEF≌△AEO，則分情況如下： 　�、�時，∴K點坐標為或 　�、�時，∴K點坐標為或 　　故直線KP與y軸交點T的坐標為　　10分