Question

已知：如圖，二次函數(shù)y=ax²+4的圖象與x軸交于點A和點B（點A在點B 的左側(cè)），與y軸交于點C，且cos∠CAO=

2

2

．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若以點O為圓心的圓與直線AC相切于點D，求點D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P使得以P、A、D、O為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，請求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）對于二次函數(shù)解析式，令x=0求出y的值確定出C坐標(biāo)，根據(jù)題意得到三角形AOC為等腰直角三角形，確定出A坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式求出a的值，即可確定出解析式；
（2）連接OD，作DE∥y軸，交x軸于點E，DF∥x軸，交y軸于點F，如圖1所示，由圓O與直線AC相切于點D，得到OD垂直于AC，由OA=OC，利用三線合一得到D為AC中點，進而求出DE與DF的長，確定出D坐標(biāo)即可；
（3）分兩種情況考慮：經(jīng)過點A且與直線OD平行的直線的解析式為y=-x-4，與拋物線解析式聯(lián)立求出P坐標(biāo)；經(jīng)過點O且與直線AC平行的直線的解析式為y=x，與拋物線解析式聯(lián)立求出P坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+4的圖象與y軸交于點C，
∴點C的坐標(biāo)為（0，4），
∵二次函數(shù)y=ax²+4的圖象與x軸交于點A，cos∠CAO=

2

2

，
∴∠CAO=45°，
∴OA=OC=4，
∴點A的坐標(biāo)為（-4，0），
∴0=a（-4）²+4，
∴a=-

1

4

，
∴這二次函數(shù)的解析式為y=-

1

4

x²+4；
（2）連接OD，作DE∥y軸，交x軸于點E，DF∥x軸，交y軸于點F，如圖1所示，

∵⊙O與直線AC相切于點D，
∴OD⊥AC，
∵OA=OC=4，
∴點D是AC的中點，
∴DE=

1

2

OC=2，DF=

1

2

OA=2，
∴點D的坐標(biāo)為（-2，2）；
（3）直線OD的解析式為y=-x，如圖2所示，

則經(jīng)過點A且與直線OD平行的直線的解析式為y=-x-4，
解方程組

y=-x-4 y=- 1 4 x2+4

，
消去y，得x²-4x-32=0，即（x-8）（x+4）=0，
∴x₁=8，x₂=-4（舍去），
∴y=-12，
∴點P₁的坐標(biāo)為（8，-12）；
直線AC的解析式為y=x+4，
則經(jīng)過點O且與直線AC平行的直線的解析式為y=x，
解方程組

y=x y=- 1 4 x2+4

，
消去y，得x²+4x-16=0，即x=-2+2

5

，
∴x₁=-2-2

5

，x₂=-2+2

5

（舍去），
∴y=-2-2

5

，
∴點P₂的坐標(biāo)為（-2-2

5

，-2-2

5

）．

點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，直線與拋物線的交點，直線與圓相切的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．