Question

如圖所示，在平面直角坐標中，拋物線的頂點P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點，OM=4；矩形ABCD的邊BC在線段的OM上，點A、D在拋物線上．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)D（m，n），矩形ABCD的周長為l，寫出l與m的關(guān)系式，并求出l的最大值；
（3）點E在拋物線的對稱軸上，在拋物線上是否還存在點F，使得以E、F、O、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，寫出F點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱性求出頂點P的坐標為（2，4），再求出點M的坐標，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+4，把點M的坐標代入計算即可得解；
（2）把點D的橫坐標拋物線解析式表示出n，然后根據(jù)矩形的周長公式列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）根據(jù)平行四邊形的對邊相等，分①OM是平行四邊形的邊時，先求出點F的橫坐標，然后代入拋物線解析式計算即可得解；②OM是平行四邊形的對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得點F與頂點P重合．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸相交于O、M兩點，OM=4，
∴頂點P的橫坐標為4÷2=2，M的坐標為（4，0），
∵頂點P到x軸的距離是4，
∴頂點P的縱坐標為4，
∴頂點P的坐標為（2，4），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+4，
則a（4-2）²+4=0，
解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x-2）²+4，
即y=-x²+4x；

（2）∵D（m，n）在拋物線上，
∴n=-m²+4m，BC=4-2m，
∴矩形ABCD的周長為l=2（4-2m+n），
=2（4-2m-m²+4m），
=-2（m²-2m+1）+10，
=-2（m-1）²+10，
即l=-2（m-1）²+10，
∴當m=1時，周長l有最大值10；

（3）①OM是平行四邊形的邊時，點F的橫坐標為2-4=-2，
縱坐標為：-（-2）²+4×（-2）=-4-8=-12，
此時，點F（-2，-12），
或點F的橫坐標為2+4=6，
縱坐標為：-6²+4×6=-36+24=12，
此時，點F（6，-12），
②OM是平行四邊形的對角線時，EF所在的直線經(jīng)過OM的中點，
∴EF都在拋物線的對稱軸上，
∴點F與點P重合，
此時，點F（2，4），
綜上所述，點F（-2，-12）或（6，-12）或（2，4）時，以E、F、O、M為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的性質(zhì)，難點在于（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分情況討論．