Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB=6，點(diǎn)D在AC上，AD=2CD，CM是∠ACB的外角平分線，連接BD并延長(zhǎng)與CM交于點(diǎn)E．
（1）求CE的長(zhǎng)；
（2）求∠EBC的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例,等邊三角形的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）首先證明CE∥AB，則△ABD∽△CED，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解；
（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，在直角△CEH中，利用三角函數(shù)求得CH和EH的長(zhǎng)度，即可求得BH的大小，即可求得三角函數(shù)值．

解答：解：（1）在BC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，∠ACF=120°，
∵CM是∠ACB的外角平分線，
∴∠ECF=

1

2

∠ACF=60°，
∴∠ECF=∠ABC，
∴CE∥AB，
∴

CE

AB

=

CD

AD

，
又∵AD=2CD，AB=6，
∴

CE

6

=

1

2

，
∴CE=3．

（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H．
∵∠ECF=60°，∠EHC=90°，CE=3，
∴CH=3，EH=

3 3

2

，
又∵BC=6，
∴BH=BC+CH=

15

2

，
∵∠EHB=90°，
∴tan∠EBC=

EH

BH

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)值的求法，求三角函數(shù)值的問題常用的方法是轉(zhuǎn)化為求直角三角形的邊的問題．