Question

12．如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：
①分別以A，C為圓心，大于$\frac{1}{2}$AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點．
②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE．
③過C作CF∥AB交PQ于點F，連接AF．
（1）若∠BAC=30°，求∠AFC的度數(shù)．
（2）由以上作圖可知，四邊形AECF是菱形，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE=CE，AF=CF，然后根據(jù)CF∥AB得到∠EAC=∠FCA=∠ECA=∠CAF=30°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到；
（2）利用ASA證得△AED≌△AFD，從而得到EC=EA=FC=FA，利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形．

解答 解：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，
∴AE=CE，AF=CF，
又∵CF∥AB，
∴∠EAC=∠FCA=∠ECA=∠CAF=30°，
∴∠AFC=180°-∠FCA-∠CAF=120°；

（2）在△AED與△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠AFD}\\{AD=AD}\\{∠ADE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四邊形AECF為菱形．

點評 本題考查了菱形的判定、全等的判定與性質及基本作圖，三角形的內(nèi)角和，解題的關鍵是知道通過作圖能得到直線的垂直平分線．