Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（

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），將線段OP₀繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₀的2倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P₂₀₁₄的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)題意得出OP₀=1，OP₁=2，OP₂=4，如此下去，得到線段OP₃=8=2³，OP₄=16=2⁴…，OP_n=2ⁿ，再利用旋轉(zhuǎn)角度得出點(diǎn)P₂₀₁₄的坐標(biāo)與點(diǎn)P₆的坐標(biāo)在同一直線上，進(jìn)而得出答案．

解答：解：∵點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（

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，

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），將線段OP₀繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₀的2倍，得到線段OP₁；
∴OP₀=1，OP₁=2，
∴OP₂=4，如此下去，得到線段OP₃=8=2³，OP₄=16=2⁴…，
∴OP_n=2ⁿ，
由題意可得出線段每旋轉(zhuǎn)8次旋轉(zhuǎn)一周，
∵2014÷8=251…6，
∴點(diǎn)P₂₀₁₄的坐標(biāo)與點(diǎn)P₆的坐標(biāo)在同一直線上，正好在y軸的負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)P₂₀₁₄的坐標(biāo)是（0，-2²⁰¹⁴）．
故答案為：（0，-2²⁰¹⁴）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了點(diǎn)的變化規(guī)律，根據(jù)題意得出點(diǎn)P₂₀₁₄的坐標(biāo)與點(diǎn)P₆的坐標(biāo)在同一直線上是解題關(guān)鍵．