Question

如圖，∠AOB=∠DOC=90°，OE平分∠AOD，反向延長(zhǎng)射線OE至F．
（1）∠AOD和∠BOC是否互補(bǔ)？說(shuō)明理由；
（2）射線OF是∠BOC的平分線嗎？說(shuō)明理由；
（3）反向延長(zhǎng)射線OA至點(diǎn)G，射線OG將∠COF分成了4：3的兩個(gè)角，求∠AOD．

Answer 1

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角,角平分線的定義

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)和等于180°的兩個(gè)角互補(bǔ)即可求解；
（2）通過(guò)求解得到∠COF=∠BOF，根據(jù)角平分線的定義即可求解；
（3）分兩種情況：①當(dāng)∠COG：∠GOF=4：3時(shí)；②當(dāng)∠COG：∠GOF=3：4時(shí)；進(jìn)行討論即可求解．

解答：解：（1）因?yàn)椤螦OD+∠BOC
=360°-∠AOB-∠DOC
=360°-90°-90°
=180°，
所以∠AOD和∠BOC互補(bǔ)．
（2）因?yàn)镺E平分∠AOD，
所以∠AOE=∠DOE，
因?yàn)椤螩OF=180°-∠DOC-∠DOE=90°-∠DOE，
∠BOF=180°-∠AOB-∠AOE=90°-∠AOE，
所以∠COF=∠BOF，即OF是∠BOC的平分線．
（3）因?yàn)镺G將∠COF分成了4：3的兩個(gè)部分，
所以∠COG：∠GOF=4：3或者∠COG：∠GOF=3：4．
①當(dāng)∠COG：∠GOF=4：3時(shí)，設(shè)∠COG=4x°，∠GOF=3x°，
由（2）得：∠BOF=∠COF=7x°
因?yàn)椤螦OB+∠BOF+∠FOG=180，
所以90+7x+3x=180，
解方程得：x=9，
所以∠AOD=180-∠BOC=180-14x=54．
②當(dāng)∠COG：∠GOF=3：4時(shí)，設(shè)∠COG=3x°，∠GOF=4x°，
同理可列出方程：90+7x+4x=180，
解得：x=

90

11

，
所以∠AOD=180-∠BOC=180-14x=

720

11

．
綜上所述，∠AOD的度數(shù)是54或

720

11

．

點(diǎn)評(píng)：考查了余角和補(bǔ)角，角平分線的定義，同時(shí)涉及到分類(lèi)思想的綜合運(yùn)用．